Equilibri e Stabilità

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Cerchiamo ora come arrivare ad una forma lineare senza l’utilizzo di ipotesi semplificative.

$$\begin{array}{c}\text{Dato}\dot{x}=f(x,u)\\ \text{dato un segnale di ingresso}u(t)\\ \text{uno stato }\overline{x}\text{ si dice di equilibrio se}\\ f(\overline{x},u)=\dot{x}=0\end{array}$$

Linearizzazione attorno ad uno stato di equilibrio

• partendo da una forma standard
• sistema stazionario (ovvero non funzione del tempo), per semplicità
• ingresso $\overline{u}$ e stato di equilibrio corrispondete $\overline{x}$

$$\text{Risolviamo}\dot{x}=0=f(\overline{x},\overline{u})$$

Definiamo inoltre due nuove variabili che rappresentano la variazione dall’equilibrio:

$$\Delta x=\overline{x}-\dot{\overline{x}}\text{e}\Delta u=\overline{u}-\dot{\overline{u}}$$

Scriviamo adesso le equazioni di stato attraverso la Formula di Taylor centrata nello stato di equilibrio e tronchiamo al primo ordine.

$$\begin{array}{c}\dot{x}=\dot{x}-\dot{\overline{x}}=\Delta \dot{x}=f(x,u)=\\ =f(\overline{x},\overline{u})+\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{\begin{array}{c}x=\overline{x}\\ u=\overline{u}\end{array}}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{\begin{array}{c}x=\overline{x}\\ u=\overline{u}\end{array}}\Delta u+O(||\Delta x|{|}^2)+O(||\Delta u|{|}^2)\end{array}$$

possiamo semplificare $f(\overline{x},\overline{u})$ e $O(||\Delta x|{|}^2)+O(||\Delta u|{|}^2)$ poiché diventano ininfluenti e possiamo ora concentrarci sulle Matrici Jacobiane (matrici di costanti che moltiplicano i termini del primo ordine):

$$\begin{array}{c}A=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{\overline{x},\overline{u}}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \dots \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{array}\right]\\ \\ B=\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{\overline{x},\overline{u}}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial u_1}& \frac{\partial f_1}{\partial u_2}& \dots \\ \frac{\partial f_2}{\partial u_1}& \frac{\partial f_2}{\partial u_2}& \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{array}\right]\end{array}$$

e quindi

$$\Delta \dot{x}=\dot{x}=A\cdot \Delta x+B\cdot \Delta u$$

E siamo tornato alla forma standard lineare $\dot{x=Ax+Bu}$.

A questo stato di equilibrio è associata una uscita di equilibrio

$$\overline{y}=g(\overline{x},\overline{u})$$

definendo $\Delta y$ e le relative Jacobiane trovo

$$y=Cx+Du$$

Quindi, ricapitolando:

• esistono diversi tipi di non linearità
• non sempre posso trovare una forma standard lineare
• mi posso ricondurre a una condizione di stabilità linearizzando
  Studieremo adesso la Stabilità secondo Lyapunov.