uni
Abbiamo già parlato della classe Problema di Programmazione Non Lineare Non Vincolato (PNLnV), ma questi problemi nella realtà non esistono (pressoché), parliamo quindi di questo stesso problema ma stavolta vincolato.

Dominio/Regione Ammissibile della PNL

$f : D \subset R^{n} \to R$

D = {x \in R^{n} : g_{1} (x) \leq 0, ..., g_{m} (x) \leq 0, h_{1} (x) = 0, ..., h_{p} (x) = 0}

con $g : R^{n} \to R^{m}, g = (g_{1}, ..., g_{m})$ e $h : R^{n} \to R^{p}, (h_{1}, ..., h_{p})$

Chiuso: la frontiera appartiene all’insieme
Limitato: rientra dentro una palla
Convesso:
un insieme $D$ si dice convesso se $\forall x, y \in D : λ x + (1 - λ) y \in D, \forall λ \in [0; 1]$
oppure una condizione sufficiente affinché $D$ sia convesso è che le $g_{i}$ siano convesse e le $h_{j}$ siano lineari. Quindi che l’Hessiana delle $g_{i}$ sia semidefinita positiva (Note Introduttive alla PNL di Analisi II)
Regolare: Ne esistono diverse classi:
1. $g_{i}, h_{j}$ lineari
2. $g_{i}$ convesse, $h_{j}$ lineari e sia soddisfatta la condizione di Slater (esiste un punto interno): $\exists \overline{x} : g (\overline{x}) < 0$
3. Soddisfatta la condizione di Mangasarian: $\nabla g_{i} (\overline{x}), \nabla h_{j} (\overline{x}) s ian o l in e a r m e n t e in d i p e n d e n t i \forall \overline{x} ammi ss ibi l e \forall i, j a tt i v i in \overline{x}$
  in generale vuol dire che siano linearmente indipendenti i gradienti dei vincoli attivi nei punti di intersezione. Ovvero controllare che la matrice creata con questi gradienti abbia rango massimo.

🪴 Quartz 4.0