Limiti

uni 10/10/2023
Una funzione che non ha limite superiore non per forza tende a infinito.

Teoremi

Teorema di unicità del limite

Il limite, se esiste, è unico.
Per esempio: $li{m}_{n\to \inf }(-1{)}^n=nonesiste$ perché a seconda che $n$ sia pari o dispari, il limite tende a $+1$ o $-1$.

Teorema della Permanenza del Segno

Se un limite è strettamente positivo allora l’oggetto che vi converge è sempre positivo “da un certo punto in poi” o in un “certo intorno”.

$$li{m}_{n\to \infty }{b}_n=M>0⟹b_n>0definitivamentedatounnabbastanzagrande$$

Teorema della Limitatezza di Successioni Convergenti

Ogni successione convergente è limitata. Successioni

Dimostrazione

Ipotesi: la successione è convergente $li{m}_{nto\infty }{a}_n=L$
Tesi: la successione è limitata, ovvero $\exists M>0t.c.|a_n|<M,\forall ninN$
Partiamo dal riscrivere la definizione di limite di successione:
$\forall ϵ>0\exists kinN:La-\overline{ϵ}<a_n<L+\overline{ϵ}\forall n>k$
Quindi la successione risulta limitata superiormente ed inferiormente lungo tutto l’insieme dei numeri naturali, che sono il dominio della successione per definizione.

Proprietà

I limiti hanno le seguenti proprietà:

1. Ipotesi: $li{m}_{n\to \infty }{a}_n=L$ e $li{m}_{n\to \infty }{b}_n=M$
   Tesi: $li{m}_{n\to \infty }(a_n+b_n)=li{m}_{n\to \infty }{a}_n+li{m}_{n\to \infty }{b}_n$
2. Ipotesi: $li{m}_{n\to \infty }{a}_n=L$ e $li{m}_{n\to \infty }{b}_n=M$
   Tesi: $li{m}_{n\to \infty }(a_n\cdot b_n)=li{m}_{n\to \infty }{a}_n\cdot li{m}_{n\to \infty }{b}_n$
3. Ipotesi: $li{m}_{n\to \infty }{a}_n=L$ e $li{m}_{n\to \infty }{b}_n=M$
   Tesi: $li{m}_{n\to \infty }(\frac{a_n}{b_n})=\frac{li{m}_{n\to \infty }{a}_n}{li{m}_{n\to \infty }{b}_n}$
   Ma in generale il limite é indifferente da come é definito l’ $x_0$ al quale tende.

Regole Generali

1. Date $a_n\to \infty$ e $b_n$ limitata inferiormente: $a_n+b_n\to \infty$
2. dati $k_1>k_2$: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n^{k_1}}{n^{k_2}}=\infty$
3. Dati $a_{n}e{b}_n\to \infty$ : $a_n{b}_n\to \infty$

Forme Indeterminate

Le forme indeterminate si presentano quando semplicemente sostituire il valore del limite all’incognita non basta perché porta a uno di 4 casi particolari:

1. $0\cdot \infty$
2. $\frac{0}{0}$
3. ${\infty }^0$
4. $\infty -\infty$
5. $\frac{\infty }{\infty }$
6. $0^0$
7. $1^{\infty }$

Limiti Notevoli

$$\begin{array}{cc}limite& generalizzazione\\ {\lim }_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1& {\lim }_{f(x)\to 0}\frac{sinf(x)}{f(x)}=1\\ {\lim }_{x\to 0}\frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2}& {\lim }_{f(x)\to 0}\frac{1-cosf(x)}{f(x{)}^2}=\frac{1}{2}\\ {\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1& {\lim }_{f(x)\to 0}\frac{e^f(x)-1}{f(x)}=1\\ {\lim }_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=1& {\lim }_{f(x)\to 0}\frac{a^f(x)-1}{f(x)}=1\\ {\lim }_{x\to 0}\frac{x+sin(x)}{x}=2& {\lim }_{f(x)\to 0}\frac{f(x)+sin(f(x)}{f(x)}=2\\ {\lim }_{x\to \infty }\frac{{\log }_a(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}={\log }_{a}e& {\lim }_{f(x)\to 0}\frac{{\log }_a(1+f(x))}{f(x)}=\frac{1}{\ln (a)}\\ {\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^b-1}{x}=b& {\lim }_{f(x)\to 0}\frac{(1+f(x){)}^b-1}{f(x)}=b\\ {\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{a}{x}{)}^x=e^a& {\lim }_{f(x)\to 0}\frac{(1+f(x){)}^b-1}{f(x)}=b\\ {\lim }_{x\to \infty }\frac{logx}{x^c}=0& {\lim }_{f(x)\to \infty }\frac{log(f(x))}{f(x{)}^c}=0\\ {\lim }_{x\to \infty }\frac{x^k}{e^x}=0& {\lim }_{f(x)\to \infty }\frac{f(x{)}^k}{e^{f(x)}}=0\\ {\lim }_{x\to \pm \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e& {\lim }_{f(x)\to \pm \infty }{\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)}^{f(x)}=e\\ {\lim }_{x\to \infty }\frac{x!}{x^x}=0& \end{array}$$

Gerarchia degli infiniti

$$({\log }_{a}x{)}^d<<x^b<<c^x<<x!<<x^x$$

Per $x\to \infty$, con $a>0\wedge a\ne 1$, $b>0$, $c>1$, $d\in R$
La notazione $x_n<<y_n$ significa che ${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{y_n}=0$
Se il limite ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=$

1. $nonesiste$ : gli infiniti non sono confrontabili.
2. $0$ : $g(x)$ è un infinito di ordine superiore.
3. $\pm \infty$ : $g(x)$ è un infinito di ordine inferiore.

Ordine

Dati due infiniti $f(x)$ e $g(x)$, per $x\to a$, si dice che $f(x)$ è un infinito di ordine $\gamma$ ($\gamma >0$) rispetto a $g(x)$, se:

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{[g(x){]}^{\gamma }}=L\ne 0$$

Dove $g(x)$ è detto Infinito Campione.

Vari Limiti Generali

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^a}{n^b}=\{\begin{array}{l}+\infty ,a>b\\ 0,a<b\\ 1,a=b\end{array}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^n{a}_k{n}^k=\{\begin{array}{l}+\infty ,a_k\ge 0\\ -\infty ,a_k<0\end{array}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^m[a_n+\frac{a_{n-1}}{n}+...+\frac{a_0}{n^m}]=\{\begin{array}{l}\infty ,a_m>0\\ -\infty ,a_m<0\end{array}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n^{b_n}=e^{b_n\ln a_n}$$

Dimostrazioni Limiti Notevoli

1. $li{m}_{x\to \infty }sin(\frac{1}{x})=0$
   Adoperiamo il Teorema del Confronto, se troviamo $a_n\le b_n\le c_n$ tali che $a_n$ ed $c_n$ si stringono attorno ad un valore troviamo anche il limite di $b_n$.
   Quindi: $0\le sin(x)\le x$,¹ $\forall x\in [0,\frac{\pi }{2}[$ e $x=\frac{1}{n}<\frac{\pi }{2}$ quindi $0\le sin(\frac{1}{n})\le \frac{1}{n}$
   Ma $li{m}_{n\to \infty }0$ va ovviamente a $0$, e $li{m}_{n\to \infty }\frac{1}{n}$ va anche a $0$, quindi anche $li{m}_{x\to \infty }sin(\frac{1}{x})$ va a $0$, C.V.D.
2. ${\lim }_{x\to \infty }\sqrt[n]{n}=1$
   Poniamo $1<a_n=\sqrt[n]{n}$, quindi $n=(a_n{)}^n$ e $a_n=1+b_n$
   Quindi $n=(a_n{)}^n=(1+b_n{)}^n\ge 1+n{b}_n$ Per la Disuguaglianza Bernoulli
   $(1+b_n{)}^n=1+n{b}_n+...$ ma la somma è maggiore degli addendi quindi sicuramente $(1+b_n{)}^n>\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)(b_n{)}^2=\frac{n(n-1)}{2}{b}_n^2$
   Siccome $b_n>0$ Allora: $0\le b_n^2\le \frac{2}{n-1}$
   Ma $\frac{2}{n-1}\to 0$ Allora $b_n\to 0$ per il Teorema del Confronto.
   Ma $n=(1+b_n{)}^n$ Quindi $\sqrt[n]{n}\to 1$ C.V.D.
   Oppure:
   ${\lim }_{x\to \infty }\sqrt[n]{n}=li{m}_{n\to \infty }{n}^{\frac{1}{n}}$
   Siccome in generale $a^b=e^{b\ln a}$ Allora $n^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln n}$ Ma $\frac{1}{n}\ln n\to 0$ Quindi $li{m}_{n\to \infty }{n}^{\frac{1}{n}}=1$ C.V.D.
3. ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n!}{n^n}=0$
   Vediamo se possiamo applicare il Principio di Sostituzione degli Infiniti (esimi) e sostituire $n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n$:

$$\frac{n!}{n^n}=\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n}\frac{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n}{n^n}$$

La prima frazione tende a $1$ secondo la Formula di Stirling, la seconda frazione tende ad un numero quindi posso applicare il principio, allora:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n}{n^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{2\pi n}}{e^n}=0$$

4. ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a^n}{n!}=0,\forall a\ge 1$
   Sostituisco con la Formula di Stirling:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n}=\frac{(a_{n}e{)}^n}{\sqrt{2\pi n}{n}^n}\le (\frac{ae}{n}{)}^n\to 0$$

Quindi possiamo generalizzare la Gerarchia degli infiniti e dire che $a^n<n!,\forall a\ge 1$
5. ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=0}^n{q}^k=a_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Se $-1\le q<+1$ allora $q^{n+1}=0$ quindi ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\frac{1}{1-q}$
Se $q\ge 1$ allora ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=+\infty$
6. ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a^n}{n}=\infty$
7. ${\lim }_{n\to \infty }\sin (n)=N/E$

Altro

1. Dimostrazione che $li{m}_{x\to \infty }{a}^n=\infty ;sea\ge 1$ : 11/10/2023 ultima pagina
2. xx

Footnotes

1. Dimostrazione che $sin(x)\le x$ // ↩