Circuito a Parametri Concentrati (Lumped Circuits)

uni
Questi sono circuiti le cui distanze fra le componenti sono tali da generare variazioni del segnale elettrico trascurabili (utilizzano approssimazione di non estendersi nello spazio).
Affinché le distanze siano tali da non influire sul segnale elettrico devono essere molto minori di $\lambda$ ($d<<\lambda$), la lunghezza d’onda del segnale elettrico, definita come $\lambda =\frac{v}{f}$.
I due casi tipici in cui invece l’estensione di un circuito non può essere trascurata sono i seguenti:

• $d\simeq \lambda$
• $f>>50Hz$, $50Hz$ è la frequenza tipica della rete di casa, un esempio di frequenza molto maggiore è la radio, che lavora tra i $75$ e i $108MHz$.

Semplificazione di un Circuito

1. Semplifico le Resistenze in Serie
2. Semplifico le Resistenze in Parallelo
3. Trasformo le Resistenze a Triangolo ($Y->\Delta$)
4. Trasformo le Resistenze a Stella ($\Delta ->Y$)

Generatori di Corrente

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    (0,0) node[left] {$A$}
    to[isource, l=$I$, v_=$V(t) ?$] (3,0) % Generatore di corrente con differenza di potenziale
    node[right] {$B$};
\end{circuitikz}
\end{document}

• E’ dotato di contrassegno che indica dove sta il + (ovvero il verso di scorrimento della corrente)
• Non ne conosco immediatamente la caduta di potenziale, va calcolata
• $i(t)=costante$ corrente continua
• $i(t)=alternata$ varia nel tempo in maniera sinusoidale
• $i(t)=0$ allora A e B collegati con un Circuito Aperto

Generatori di Corrente in Serie

Non puoi mettere Generatori di Corrente in serie a meno che non siano dei Generatori di Corrente Reali (R in parallelo)

Generatori di Corrente in Parallelo

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    (0,0) node[left] {$A$}
    to[isource, l_=$+ I_1$, v^ = $V(t) ?$, *-*] (2,0)
    to[isource, l_=$+ I_2$, v^ = $V(t) ?$, *-*] (4,0)
    -- (5,0) node[anchor=north] {\dots}
    -- (6,0)
    to[isource, l_=$+ I_n$, v^ = $V(t) ?$, *-*] (8,0)
    node[right] {$B$};
    
    % Segni di polarità negativi
    (0,0) node[below left] {$-$}
    (2,0) node[below left] {$-$}
    (4,0) node[below left] {$-$}
    (6,0) node[below left] {$-$};
\end{circuitikz}
\end{document}

La corrente totale ($i_{tot}(t)$) è rappresentata dalla somma algebrica di tutte le correnti presenti nel parallelo secondo la Prima Legge di Kirchkoff :

$$i_{tot}(t)=i_1(t)+i_2(t)+...+i_n(t)$$

Tensione/Potenziale

Definizione

La Differenza di Potenziale è il lavoro che serve per spostare $q^{(+)}$ da A a B

$$V_{ab}(t)=\frac{L_{ab}(t)}{q^{(+)}}=[\frac{w}{C}]=[V]$$

Forti parallelismi tra rete elettrica e rete idraulica: le cariche vanno da Potenziale Maggiore a Potenziale Minore.

Se il circuito non ha “salti” di Potenziale allora serve una “pompa”: il Generatore di Tensione

Generatori di Tensione

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    (0,0) node[left] {$A$}
    to[vsource, l=$V$] (3,0) % Generatore di tensione
    node[right] {$B$};
\end{circuitikz}
\end{document}

• E’ dotato di un contrassegno che indica dove sta il + ( in sostanza ci dice se è $V_{AB}$ o $V_{BA}$)
• Per calcolare V si scelgono sistemi Non Associati (contrariamente ai resistori)
• $V(t)=costante$ si dice che genera corrente in continua
• $V(t)\ne costante$ allora varia secondo sinusoide → corrente alternata
• $V(t)=0$ allora A e B collegati in Corto Circuito

Generatori di Tensione in Serie

Dei Generatori di Tensione sono in serie se sono attraversati dalla stessa corrente

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    (0,0) node[left] {$A$}
    to[vsource, l_=$V_1$, *-*, v^=$+$] (2,0)
    to[vsource, l_=$V_2$, *-*, v^=$+$] (4,0)
    -- (5,0) node[anchor=north] {\dots}
    -- (6,0)
    to[vsource, l_=$V_n$, *-*, v^=$+$] (8,0)
    node[right] {$B$};
    
    % Segni di polarità negativi
    (0,0) node[below left] {$-$}
    (2,0) node[below left] {$-$}
    (4,0) node[below left] {$-$}
    (6,0) node[below left] {$-$};
\end{circuitikz}
\end{document}

La $V_{eq}$ sarà data dalla somma algebrica di tutti i generatori nella serie:

$$V_{eq}=V_{AB}=V_1+V_2+...+V_n$$

il segno di ogni singola V dipende dal verso della corrente e dal contrassegno su ognuno di essi:

• se corrente concorde al contrassegno allora meno (riferimento Associato)
• se corrente opposta al contrassegno allora più (riferimento Non Associato)

Generatori di Tensione in Parallelo

Non puoi mettere dei Generatori di Tensione in parallelo a meno che non consideri Generatori di Tensione Reali (R in serie).

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    (0,0) node[left] {$A$}
    to[short] (2,0) to[vsource, l_=$V_1$, *-*, v^=$+$] (2,-2) to[short] (0,-2) node[left] {$B$}
    (2,0) -- (4,0) to[vsource, l_=$V_2$, *-*, v^=$+$] (4,-2) -- (2,-2)
    (4,0) -- (5,0) node[anchor=north] {\dots} -- (6,0)
    to[vsource, l_=$V_n$, *-*, v^=$+$] (6,-2) -- (4,-2);
    
    % Segni di polarità negativi
    (0,0) node[below left] {$-$}
    (2,0) node[below left] {$-$}
    (4,0) node[below left] {$-$}
    (6,0) node[below left] {$-$};
\end{circuitikz}
\end{document}

Secondo la Seconda Legge di Kirchkoff la somma dei voltaggi calcolati su una maglia è uguale a 0:

$$\sum _{I=1}^n{V}_i(t)=0$$

Generatori Pilotati

Possono essere di tensione o di corrente e vengono influenzati da altre correnti o tensioni moltiplicate per un certo valore:
es.

$$V_{BA}(t)=\alpha V(t)$$ $$i_{BA}=\beta V(t)$$

Bipoli Elettrici

	Memoria	Energia	t Invariante
	NO	PASSIVO	SI (approssimazione del corso)
	SI	PASSIVO (se inizialmente scarico)	SI
	SI	PASSIVO (se inizialmente scarico)	SI

Resistori

“Rallenta” le cariche che passano al suo interno, quindi modifica la Differenza di Potenziale tra i due capi:

$$V_R(t)=R\ast i_R(t)=[\frac{V}{A}]=[\text{ohm}]$$

La resistenza però dipende anche da fattori intrinsechi al resistore se non trascurati come la lunghezza, la sezione, la resistività $\rho$ = $[\text{ohm}\ast m]$

$$R=\rho \frac{l}{S}$$

Resistenze in Serie

Due o più Resistori si dicono in serie se sono attraversati dalla stessa corrente:

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    % Nodo iniziale A
    (0,0) node[left] {$A$}
    to[R=$R_1$, v_<= $V_1$] (2,0) % Prima resistenza con differenza di potenziale sotto
    to[R=$R_2$, v_<= $V_2$] (4,0) % Seconda resistenza con differenza di potenziale sotto
    -- (5,0) node[anchor=north] {\dots} % Puntini di sospensione
    -- (6,0)
    to[R=$R_n$, v_<= $V_n$] (8,0) % Ultima resistenza con differenza di potenziale sotto
    % Nodo finale B
    node[right] {$B$};
\end{circuitikz}
\end{document}

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    % Nodo iniziale A
    (0,0) node[left] {$A$}
    to[R=$R_{eq}$, v_<= $V_{eq}$] (6,0) % Resistenza equivalente con differenza di potenziale sotto
    % Nodo finale B
    node[right] {$B$};
\end{circuitikz}
\end{document}

La resistenza equivalente $R_{eq}$ si trova facendo la somma algebrica di tutte le resistenze della serie

$$R_{eq}=R_1+R_2+...+R_n$$

Quindi automaticamente la differenza di potenziale tra i nodi A e B diventa:

$$V_{ab}(t)=R_{eq}\ast i_{ab}(t)$$

Resistenze in Parallelo

Due o più Resistori si dicono in parallelo se si trovano allo stesso Tensione/Potenziale:

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    % Nodo madre A e collegamenti con i nodi A^n
    (0,0) node[above] {$A$}
    to[short] (2,0) node[above] {$A^1$} % Collegamento A con A^1
    to[short] (4,0) node[above] {$A^2$} % Collegamento A con A^2
    -- (6,0) node[above] {\dots} -- (8,0) node[above] {$A^n$} % Puntini di sospensione e A^n
    
    % Nodo madre B e collegamenti con i nodi B^n
    (0,-3) node[below] {$B$}
    to[short] (2,-3) node[below] {$B^1$} % Collegamento B con B^1
    to[short] (4,-3) node[below] {$B^2$} % Collegamento B con B^2
    -- (6,-3) node[below] {\dots} -- (8,-3) node[below] {$B^n$} % Puntini di sospensione e B^n
    
    % Resistenze in parallelo con le correnti
    (2,0) to[R=$R_1$, i_=$i_1$] (2,-3) % Prima resistenza con corrente i_1
    (4,0) to[R=$R_2$, i_=$i_2$] (4,-3) % Seconda resistenza con corrente i_2
    (8,0) to[R=$R_n$, i_=$i_n$] (8,-3); % Ultima resistenza con corrente i_n
\end{circuitikz}
\end{document}

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    % Nodo madre A e collegamenti senza lettere intermedie
    (0,0) node[above] {$A$}
    to[short] (2,0) % Collegamento A
    to[open] (2,-3) % Aperto al posto della prima resistenza
    (2,-3) to[short] (0,-3) node[below] {$B$} % Collegamento B
    
    (2,0) -- (4,0) to[open] (4,-3) % Secondo ramo aperto
    (4,-3) -- (2,-3)
    
    (4,0) -- (6,0) node[anchor=north] {\dots} -- (8,0) % Puntini di sospensione e ultimo ramo
    
    % Resistenza equivalente Req con corrente ieq
    (8,0) to[R=$R_{eq}$, i_=$i_{eq}$] (8,-3) % Req con ieq
    (8,-3) -- (6,-3) -- (0,-3); % Chiusura circuito a B
\end{circuitikz}
\end{document}

La resistenza equivalente $R_{eq}$ si trova facendo la somma algebrica delle conduttanze ($G=\frac{1}{R}$) di tutte le resistenze del parallelo

$$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+...+\frac{1}{R_n}$$

viene da se che la corrente ($i_{eq}$) che scorre da A a B sarà:

$$i_{eq}(t)=V_{AB}(t)\ast R_{eq}$$

Resistenze a Triangolo

Tre resistenze sono a Triangolo se a 2 a 2 condividono dei “braccetti”

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    % Nodo 1
    (0,0) node[left] {$1$}
    to[R=$R_{12}$] (3,0) node[right] {$2$} % Resistenza tra i nodi 1 e 2
    
    % Resistenza tra i nodi 2 e 3
    to[R=$R_{23}$] (1.5,-2.5) node[below] {$3$}
    
    % Resistenza tra i nodi 3 e 1
    to[R=$R_{31}$] (0,0); 
\end{circuitikz}
\end{document}

come si vede dalla figura la resistenza $R_{12}$ ad esempio ha un braccetto in comune sia con $R_{31}$ (braccio 1) sia con $R_{23}$ (braccio 2), che a loro volta condividono il braccio 3.

Questa configurazione la posso trasformare, inserendo un nodo comune alle 3 al centro di questo triangolo in sistema di Resistenze a Stella:

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    % Nodo centrale comune
    (0,0) node[circle, draw, inner sep=2pt] (C) {}
    
    % Nodo 1 e resistenza tra 1 e il nodo centrale
    (C) to[R=$R_1$] (-2,2) node[left] {$1$}
    
    % Nodo 2 e resistenza tra 2 e il nodo centrale
    (C) to[R=$R_2$] (2,2) node[right] {$2$}
    
    % Nodo 3 e resistenza tra 3 e il nodo centrale
    (C) to[R=$R_3$] (0,-2.5) node[below] {$3$};
\end{circuitikz}
\end{document}

a questo punto se voglio sapere $R_x$ mi basterà fare

$$R_X=\frac{R_{XY}\cdot R_{XZ}}{R_{XY}+R_{XZ}+R_{YZ}}$$

Quando faccio queste equivalenze devo stare attento a non usare nodi importanti come potevano essere prima A e B che ti collegano al resto del circuito.

Resistenze a Stella

Tre resistenze sono a Stella se condividono un nodo

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    % Nodo centrale comune
    (0,0) node[circle, draw, inner sep=2pt] (C) {}
    
    % Nodo 1 e resistenza tra 1 e il nodo centrale
    (C) to[R=$R_1$] (-2,2) node[left] {$1$}
    
    % Nodo 2 e resistenza tra 2 e il nodo centrale
    (C) to[R=$R_2$] (2,2) node[right] {$2$}
    
    % Nodo 3 e resistenza tra 3 e il nodo centrale
    (C) to[R=$R_3$] (0,-2.5) node[below] {$3$};
\end{circuitikz}
\end{document}

la trasformazione definita prima è reversibile quindi da Resistenze a Stella posso passare a una Resistenze a Triangolo

\usepackage{circuitikz}
\begin{document}
\begin{circuitikz} \draw
    % Nodo 1
    (0,0) node[left] {$1$}
    to[R=$R_{12}$] (3,0) node[right] {$2$} % Resistenza tra i nodi 1 e 2
    
    % Resistenza tra i nodi 2 e 3
    to[R=$R_{23}$] (1.5,-2.5) node[below] {$3$}
    
    % Resistenza tra i nodi 3 e 1
    to[R=$R_{31}$] (0,0); 
\end{circuitikz}
\end{document}

a questo punto se voglio conoscere $R_{xy}$ mi basterà fare

$$R_{XY}=\frac{R_X{R}_Y+R_X{R}_Z+R_Y{R}_Z}{R_Z}$$