Sistema LTI

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I sistemi LTI (lineari e tempo invarianti, ovvero stazionari) sono una classe interessante di sistemi per via delle proprietà di cui godono, che rendono utile anche l’approssimazione di sistemi non lineari ad essi, proprio per via della loro facilità di studio.

Movimento

Il movimento dello stato e dell’uscita sono descritti dalle seguenti equazioni:

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}$$

Formula di Lagrange

Per determinare lo stato relativo ad un certo ingresso possiamo utilizzare la seguente formula:

$$\begin{array}{c}x(t)=e^{A(t-t_0)}{x}_{t_0}+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}B\cdot u(\tau )d\tau ,t>0\\ y(t)=C\cdot x(t)+D\cdot u(t)\end{array}$$

In queste equazioni possiamo individuare per ognuna un blocco dipendente dal solo stato iniziale ed uno dipendente solo dall’ingresso, questi prendono rispettivamente il nome di:

• movimento libero: $x_l(t)=e^{A(t-t_0)}{x}_{T_0}$
• movimento forzato: $x_f(t)={\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}B\cdot u(\tau )d\tau$

Principio di Sovrapposizione degli Effetti

Considerato il sistema LTI con istante iniziale $t_0$, siano $x\prime$ e $y\prime$ i movimenti dello stato e dell’uscita generati dall’ingresso u′ e dallo stato iniziale , e $x″$ e $y″$ i movimenti dello stato e dell’uscita generati dall’ingresso $u″$ e dallo stato iniziale . Allora, per ogni coppia di scalari $\alpha$ e $\beta$, i movimenti dello stato e dell’uscita generati dall’ingresso

$$u(t)=\alpha u\prime (t)+\beta u″(t)$$

e dallo stato iniziale

$$x_{t_0}^{\prime \prime \prime }=\alpha x_{t_0}^{\prime }+\beta x_{t_0}^{\prime \prime }$$

sono:

$$\begin{array}{c}(t)=\alpha x\prime (t)+\beta x″(t)\\ (t)=\alpha y\prime (t)+\beta y″(t)\end{array}$$

In realtà, si può dimostrare che questo risultato vale indipendentemente dall’ipotesi di stazionarietà del sistema cui lo si applica, mentre è legato in maniera indissolubile all’ipotesi di linearità.

Trasformazioni Equivalenti

Data una matrice di trasformazione $T$, non singolare¹ e quindi invertibile, possiamo definire un cambio di variabili, con corrispondenza biunivoca:

$$\hat{x}=Tx,x=T^{-1}\hat{x}(TE.1)$$

e sostituendo nel nostro sistema standard otteniamo:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\dot{\hat{x}}(t)=\hat{A}\widehat{x(t)}+\hat{B}u(t)\\ y(t)=\hat{C}\hat{x}(t)+\hat{D}u(t)\end{array}\\ \text{con:}\hat{A}=TA{T}^{-1},\hat{B}=TB,\hat{C}=C{T}^{-1},\hat{D}=D\end{array}$$

Questo sistema dinamico è equivalente al nostro sistema originario, nel senso che in ogni istante a parità di stato iniziale e ingresso, i movimento dello stato sono legati dalla relazione $(TE.1)$, e i movimenti dell’uscita sono identici: sono due descrizioni equivalenti del medesimo oggetto fisico.
N.B.: le matrici $A,\hat{A}$ sono simili, quindi hanno gli stesso autovalori.

Autovalori e Modi

Gli autovalori di $A$ sono così importanti che prendono il nome di Autovalori del Sistema.

Se gli autovalori $S_i$ di $A$ sono tutti distinti, posso scegliere la matrice di tradformazione di diagonalizzazione $T_D$ e ottengo: $\hat{A}=\widehat{A_D}=diag\{S_1,S_2,...,S_n\}$ e $x_l(t)=T_D^{-1}diag\{e^{S_{1}t},e^{S_{2}t},...,e^{S_{n}t}\}{T}_D\cdot x_0$, $y_l(t)=C{x}_l(t)$.
Ottengo quindi che $x_l(t),y_l(t)$ sono combinazioni lineari degli esponenziali $e^{S_{i}t}$, che sono detti modi propri del sistema.

N.B.: anche i termini generati dalle coppie di complessi coniugati di $A$ $S_i$ e ${\overline{S}}_i$ sono detti modi.

Se invece la matrice $A$ non è diagonalizzabile, posso comunque utilizzare la forma di Jordan (solo autovalori sulla diagonale e valori unitari sulla sopradiagonale) e i modi sono della forma $t^{\eta -1}{e}^{S_{i}t}$ se $S_i\in R$;
se però $S_i\in C$ allora i modi sono nella forma $t^{\eta -1}{e}^{{\sigma }_{i}t}\sin ({\omega }_{i}T+{\varphi }_i)$ con $1\le \eta \le \text{max dim. dei miniblocchi di Jordan}$.

Footnotes

1. con determinante diverso da zero ↩