Modellistica

uni
Partendo dagli input e dagli output, come possiamo ricostruire la relazione che li lega?
Possiamo avere 4 approcci:

Black Box

Questo è un approccio sperimentale (o induttivo).

Il fitting consiste nel cercare una funzione matematica (modello) che dati gli input dia gli output che rende la “black box”.
In MatLab la funzione interp, dati $u$ e $y$ rende la funzione

White Box

Questo è un approccio Analitico (o deduttivo).

Gray Box

Questo è un mix tra i primi due, conosciamo il comportamento generale ma dobbiamo trovare gli specifici parametri.

Approccio Pragmatico

Modello Macchina a Stati Finiti

Questo è un modello molto potente per studiare il comportamento di sistemi, finché rimaniamo in numero di stati relativamente basso (<100).

Un sistema viene detto discreto se il tempo è una variabile $k\in Z$, si parla quindi di stati.

Noi ci concentreremo su sistemi continui, ovvero le variabili di stato si evolvono continuamente nel tempo, che è quindi una variabile $t\in R$.
I sistemi continui non sono macchine a stati finiti.

Esempio: controllo del livello del serbatoio

Immaginiamo un sistema composto da un serbatoio, con uno scarico in fondo e con un’entrata in cima.
Chiamiamo $h$ il livello dell’acqua, $u(t)$ l’acqua in entrata e $A$ l’area della base del serbatoio.
Scegliamo infine l’uscita $y(t)$ del sistema pari al livello dell’acqua $h(t)$.

• Problema del controllo: mantenere costante il livello dell’acqua al valore desiderato $\overline{h}$.
• Segnale di riferimento (o set point): $\dot{h(t)}=\overline{h}$, ovvero il valore desiderato in uscita.
• Azione di controllo: apertura/chiusura del rubinetto in entrata, ovvero regolazione di $u(t)$.
  Calcoli:

$$\begin{array}{c}\Delta V=A\cdot (h_1-h_0)={\int }_{t_0}^{t_1}u(\tau )d\tau \\ A\cdot \frac{dh}{dt}=u(t)\\ \text{chiamiamo}x=h\to \frac{dx}{dt}=\dot{x}=\frac{1}{A}u(t)\end{array}$$

ed otteniamo così l’Equazioni Differenziali che risolve il nostro problema di controllo.

Sistemi Lineari e Tempo Invarianti (LTI)

Tutti i sistemi lineari hanno le seguenti proprietà:

• omogeneità: se si scala l’ingresso $u(t)$ allora l’uscita verrà scalata dello stesso fattore: $a\cdot u(t)=a\cdot y(t)$
• Sovrapposizione degli Effetti: se un modello ha ha due risposte $y_1(t),y_2(t)$ a due ingressi $x_1(t),x_2(t)$, allora la risposta alla combinazione lineare di questi ingressi è data dalla combinazione lineare delle rispettive uscite: ${\alpha }_1{x}_1(t)+{\alpha }_2{x}_2(t)⟹{\alpha }_1{y}_1(t)+{\alpha }_2{y}_2(t)$

L’invarianza nel tempo vuol dire che:

• Il sistema si comporta in modo indipendente dal tempo: $x_1(t-\tau )⟹y_1(t-\tau )$
• Formalmente, nelle equazioni non c’è dipendenza esplicita dal tempo.

“Linear Systems are important because we can solve them.”
__Richard Feynman

Modello in Variabili di Stato

Questa è una rappresentazione standard per rappresentare la dinamica di un sistema lineare.

• $x$: stato
• $y$: uscita
• $u$: ingresso

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}\\ \\ u\in R^r,x\in R^n,y\in R^m\\ A\in R^{n\times n},B\in R^{n\times r},C\in R^{m\times n},D\in R^{m\times r}\end{array}$$

Queste Matrici si chiamano "Realizzazione di un sistema dinamico" e ci permettono di misurare alcune proprietà strutturali del sistema:

• $A$ mette in evidenzia la proprietà di stabilità.
• La coppia $[A,B]$ mette in evidenzia la proprietà di controllabilità.
• La coppia $[A,C]$ mette in evidenzia la proprietà di osservabilità, ovvero la capacità di dedurre lo stato di $S$ a partire da $y\text{ e }u$.
  La tempo invarianza è garantita dal fatto che le matrici non sono funzioni del tempo.

Le variabili di Stato sono il minimo insieme di variabili che descrive il sistema nella sua interezza.
Questo modello permette di capire le relazioni tra le variabili di stato.

Schema a blocchi del modello in Variabili di Stato

• $\int =\frac{1}{S}$

Esempio massa-molla-smorzatore

$B$: attrito

• Variabili di Stato: posizione e velocità: $x,v$ $\to$ $\left[\begin{array}{c}x\\ v\end{array}\right]$
• Uscita: posizione: $x$

calcoli:

$$\begin{array}{c}F(t)=M\cdot \frac{dv}{dt}+Bv+Kx\\ \frac{dx}{dt}=v\\ \frac{dv}{dt}=-\frac{k}{M}x-\frac{B}{M}v+\frac{1}{M}F\\ \\ \{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{v}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}\\ \frac{dv}{dt}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{k}{M}& -\frac{B}{M}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ v\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{M}\end{array}\right]F\\ \\ x=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ v\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right]F\end{array}\end{array}$$

Sistemi non Lineari

Prendiamo per esempio la seguente forma non lineare:

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=f(x,u)\\ y=g(x)\end{array}$$

questa prende il nome di forma standard bilineare.
Per ora non sappiamo come trattarla, a meno di fare ipotesi semplificative.
Cominciamo quindi a parlare di Equilibrio e Linearizzazione.