Serie Numeriche

uni

$$\sum _k^{+\infty }{a}_n$$

Studiare la Convergenza

Converge=la serie converge ad un numero reale
Diverge=la serie diverge a infinito

• Teorema: Se ${\lim }_{x\to \infty }{a}_n\ne 0$ allora la serie diverge, se invece tende a $0$ non posso trarre conclusioni
• Teorema: Se $|{\sum }_k^{+\infty }|a_n|$ converge, allora converge anche ${\sum }_k^{+\infty }{a}_n$

Serie Note

1. Serie Geometrica:

$$\sum _k^{\infty }a{x}^n=a+ax+a{x}^2+...+a{x}^n$$

con $k>0$, è una serie geometrica se il rapporto tra due termini successivi è sempre uguale, e questo rapporto prende il nome di ragione $\rho$ della serie$\frac{a{x}^n}{a{x}^{n-1}}=ax$.

• Se $|x|<1$ la serie converge assolutamente a $\frac{a}{1-x}$ se la serie parte da $0$!
• Se $x\ge 1$ la serie diverge
• Se $x\le -1$ la serie è indeterminata

2. Serie Armonica:
   1. serie armonica semplice: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ è divergente
   2. serie armonica generalizzata di tipo 1: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^k}$ se $0\le k\le 1$ diverge, se $k>1$ converge
   3. serie armonica generalizzata di tipo 2: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^k|\ln n{|}^{\beta }}$ insieme alle condizioni precedenti, diverge se $\beta \le 1$ e converge se $\beta >1$
3. Serie Telescopica:

$$\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n+1}-a_n)=(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+...+(a_{n+1}-a_n)$$

oppure

$$\sum _n^{\infty }(a_n-a_{n+1})\to \underset{n\to +infty}{\lim }\sum =\underset{n\to +\infty }{\lim }(a_1-a_{n+1})$$

rg