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Formula di Taylor

La formula di Taylor serve ad approssimare, almeno localmente, tutte le funzioni sufficientemente regolari, con polinomi.

Ipotesi:

1. Sia $f(x)$ una funzione definita in un certo intervallo $(-\delta ,\delta )$ per qualche $\delta >0$
2. $f(x)$ derivabile $n-1$ volte nell’intervallo
3. Esiste la derivata n-esima almeno in $x=0$

Tesi

$$f(x)=T_n(x)+o(x^n):x\to 0$$

Con $T_n$ :

$$T_n(x)=f(x)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}{x}^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{x}^n=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$$

$T_n$ prende il nome di polinomio di Taylor di grado $n$ generato da $f$,con centro in $x_0$
Se $x_0=0$ $T_n$ è anche detto polinomio di Mac Laurin di grado $n$. $T_n[f]$ è il polinomio di Taylor di grado $n$ generato da $f$.

Proprietà

Siano $f$ e $g$ funzioni derivabili $n$ volte in $x_0$, $c_1,c_2\in R$ allora:

1. $T_n[c_{1}f+c_{2}g]=c_1{T}_n[f]+c_2{T}_n[g]$
2. $T_n^{\prime }[f]=T_{n-1}[f^{\prime }]$

Esempi Notevoli

$$sef(x)=e^x:T_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$$ $$sef(x)=\sin x:T_{2n+1}(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$ $$sef(x)=\cos x:T_{2k}(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$$ $$sef(x)=\log (1+x):T_n(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{k+1}\frac{x^k}{k}$$

Resto di Lagrange

Se ho una funzione $f(x)$ definita in un intervallo $I$, se ho $x\in I$ allora $f(x)$ deve essere continua e derivabile $n$ volte.
Considero poi un $b\in ]a,x[$, deve esistere la derivata di ordine $n+1$ di $f$ in $b$: $(f^{(n+1)}(b))$
Allora $\exists c\in ]a,x[:f(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(n)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$