Richiami di Algebra Lineare per il Calcolo Numerico

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La maggior parte dei dati che tratteremo saranno vettori del tipo $x\in {\mathbb{C}}^{n}conn>1$. In questo contesto sono fondamentali le Matrici perché rappresentano applicazioni (funzioni) lineari in modo univoco.
Poi ci servirà:

• Def Applicazione Lineare:
  una app. lin. è una $f:{\mathbb{C}}^n\to \mathbb{C}$ t.c. $f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$ e $f(\lambda v)=\lambda f(v)$.

• Def Lineare Indipendenza:
  un sottoinsieme del vettore in esame $v_1,\cdots ,v_s\in {\mathbb{C}}^{n}con(s\le n)$ si dice linearmente indipendente se ${\sum }_{j=1}^s{c}_j\cdot v_j=0,c_1,\cdots ,c_s\in \mathbb{C}⟺c_1=c_2=\cdots =c_s$ . Nel caso $s=n$ si dice che il sottoinsieme $v_1,\cdots ,v_s$ è base di ${\mathbb{C}}^n$.

• Def di Prodotto Scalare
  riferimento a Operazioni tra vettori. Curiosità il Prodotto Scalare costa $n-1$ somme e $n$ prodotti perciò $o(n)$.

• Matrici:
  Osservazioni:
  Le op tra matrici sono differiscono anche per ordine delle operazioni. 2 op equivalenti potrebbero avere costo computazionale diverso!!
  Inoltre è vera questa serie di implicazioni \begin{array}ddet(A)\neq 0,\ A\in\mathbb{C}^{n\times n}\Longleftrightarrow rango(A)=n\Longleftrightarrow le \ colonne \ di \ A \ sono \ lin.\ indipendenti\Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow le \ colonne \ di \ A \ formano \ una\ base\ di \ \mathbb{C}^n \Longleftrightarrow \exists A^{-1} \end{array}

• Teorema di Binet-Cauchy

• Sistema Lineare:
  Osservazioni:
  Nel caso $m=n$ ($m$ eq. in $n$ incognite) se $det(A)\ne 0$ quindi $(rango(A)=n)$ la soluzione di $Ax=b$ è unica $\forall b\in {\mathbb{R}}^n⟶x=A^{-1}\cdot b$

• Teorema di Rouché-Capelli

• Regola di Cramer

Matrici a Blocchi

• Se una matrice è triangolare a bocchi allora l’insieme degli autovalori corrisponde all’unione degli insiemi di autovalori associati ai blocchi sulla sua diagonale
• $\text{det}(A)={\prod }_{j=1}^s\text{det}(A_{jj})$ con $\text{det}(A_{jj})={\prod }_i^{\frac{n}{s}}{\lambda }_i$

Matrici riducibili

• una matrice si dice riducibile se $\exists \Pi$ matrice di permutazione tale che $\Pi A{\Pi }^T=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ 0& A_{22}\end{array}\right)$ a blocchi, oppure uguale ma triangolare inferiore: ${\Pi }_{2}A{\Pi }_2^T=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& 0\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right)$
• una matrice è riducibile quando non è irriducibile, ovvero quando il suo grafo non è fortemente connesso
• come trovare $\Pi$: scrivo la tabella di adiacenza $nodo|raggiungibili|nonraggiungibili$, prendiamo la riga che ci da la partizione migliore (più equa), scrivo la permutazione $\Pi$ che manda i nodi non raggiungibili in quella riga in testa