Funzioni

uni 26/09/2023
Teoremi

Basi

Una funzione lega due Insiemi attraverso una relazione.
Per avere una funzione servono: due insiemi e una relazione:
A: dominio
B: codominio
Relazione: $f$: relazione che a ogni elemento di $A$ associa uno ed uno solo elemento di $B$.

Funzioni Uguali

Due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ sono uguali se hanno lo stesso Dominio e se $\forall x\in D:f(x)=g(x)$

Zeri di una Funzione

Un numero $a$ è detto zero della funzione $f(x)$ se $f(a)=0$

Studiare il Segno di una Funzione

Studiare il segno di una funzione significa cercare per quali valori del Dominio la funzione è positiva e per quali altri la funzione è negativa.

Simmetrie

Una funzione è detta pari (simmetrica rispetto all’asse $y$) se $f(x)=f(-x)$, ed è detta dispari (simmetrica rispetto all’origine) se $f(x)=-f(-x)$ .

Funzioni crescenti, in senso lato, monotone

Una funzione è detta crescente in un intervallo $I$ se $\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2:f(x_1)<f(x_2)$ , è detta invece non decrescente o crescente in senso lato, se $f(x_1)\le f(x_2)$. Vale un discorso speculare per la decrescenza.
Una funzione è detta monotona se è sempre crescente o decrescente.

Funzione Inversa

Data la funzione biunivoca $y=f(x)$ da $A$ a $B$, la funzione inversa di $f$ è la funzione biunivoca $x=f^{-1}(y)$ da $B$ a $A$, che associa ad ogni $y$ di $B$ il valore $x$ di $A$ tale che $y=f(x)$.
Se una funzione ammette inversa, si dice invertibile.
Il grafico di una funzione e quello della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Funzione Composta

Date le funzioni $g$ ed $f$, la funzione composta $g\circ f$ associa ad ogni $x$ del dominio di $f$ che ha immagine $f(x)$ nel dominio d $g$ il valore $y=g[f(x)]$ .
In generale $g\circ f\ne f\circ g$ .

Tipi di Funzioni

iniettiva

$$\forall a_1,a_2\in At.c.a_1\ne a_2⟹f(a_1)\ne f(a_2)$$

A ogni elemento di $B$, $f$ lega al più un elemento di $A$.

suriettiva o invertibile

$$\forall b\in B,\exists a\in A,t.c.f(a)=b$$

a ogni elemento di $B$ è associato almeno un elemento di $A$.

biunivoca o bicettiva

Una funzione sia iniettiva che suriettiva, lega ad ogni elemento di $A$ uno ed uno solo elemento di $B$ e ad ogni elemento di $B$ uno ed uno solo elemento di $A$.
Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca.

Condizioni

Se il codominio contiene meno elementi del dominio la funzione non può essere iniettiva.

Invertibilitá di una Funzione

In generale, sotto alcune ipotesi, l’inversa di una funzione é invertibile.
Definizione di invertibile:
$f:[a,b]\to Im(f)esisteg:Im(f)\to [a,b]$ con $g(f(x))=x$ e $f(g(y))=y$

Teorema

Ipotesi: $f\in C([a,b])invertibile:f:[a,b]\to [c,d]$
Tesi: $\exists g\in C([c,d]);g=f^{-1};g:[c,d]\to [a,b]$

Esempi

$\sin h(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}⟹\sin h^{-1}x=settore\sin h(x)$
$\frac{1}{\sin (x)}\ne {\sin }^{-1}(x)\ne \arcsin (x)$

Funzioni Periodiche

Una funzione è detta periodica di periodo $T$, con $T>0$, se $\forall k\in Z:f(x)=f(x+kT)$ .
Una funzione periodica non può essere iniettiva.
Se una funzione è periodica di periodo $T_1$, allora $f(kx)$ è periodica di periodo $T=\frac{T_1}{k}$ .

Funzioni a tratti

Una funzione è detta definita a tratti se per tratti diversi di dominio ha relazioni diverse.

$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}sen\grave{e}pari\\ 1se\grave{e}dispari\end{array}$$

Successioni

Una successione numerica è una funzione che associa ad ogni numero naturale n un numero reale r.
Sono indicate con $f_n$ dove $n\in N$.
Una successione si dice limitata se: $\exists M>0t.c.|a_n|<M,\forall ninN$
Il Limiti della successione è dato da:

$$\forall ϵ>0\exists n_{0}inNcon{n}_0>0t.c.\forall n>n_{0}risulta|a_n-a|<ϵ$$ $$li{m}_{n\to \infty }{a}_n=a$$

Successioni monotone

Una Successione è detta monotona crescente se $\forall n\in N:a_n<a_{n+1}$
Una Successione è invece detta monotona non decrescente (o crescente in senso lato) se $\forall n\in N:a_n\le a_{n+1}$

Sottosuccessioni

$b_n$ è detta sottosuccessione di $a_n$ se $\exists k:N\to Nstrettamentecrescentet.c.b_n=a_{k_n}$

Teorema di Regolarità per Sottosuccesioni

Se il Limiti ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L(+\infty )allora\forall a_{n_k}sottosuccessionedi{a}_n:{\lim }_{k\to \infty }a-n_k=L(+\infty )$
In parole povere la sottosuccessione di una successione ha lo stesso limite della successione.

Corollario del Teorema di Regolarità per Sottosuccessioni

Se esistono due sottosuccessioni di $a_n$, $a_{n_k}$ e $a_{m_k}$ tali che ${\lim }_{n\to \infty }{a}_{n_k}\ne {\lim }_{m\to \infty }{a}_{m_k}$ allora la successione $a_n$ non ammette limite.

Limiti di successioni

OGNI successione monotona ammette limite.
Ogni Successione Monotona limitata ammette come limite l’estremo, superiore o inferiore che sia.

1. Limite di una successione crescente limitata superiormente: teorema
   Ipotesi: $a_n\le a_n+1$ , $\forall n\in N$ ; $\exists Mt.c.a_n\le M$ , $\forall n\in N$
   Tesi: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\sup a_n$
2. Il limite di una successione crescente non limitata superiormente: teorema
   ipotesi:
   1. $a_n\le a_{n+1}$
   2. $\forall k\in R:\exists \overline{n}t.c.a_{\overline{n}}>k$
   tesi:
   ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=+\infty$

Permutazione

Sia $A$ un insieme, una permutazione di $A$ è una funzione $f$ biunivoca tale che $f:A\to A$.

Funzione crescente

Una funzione è crescente se:

$$\forall x_{1}e{x}_2\in Dt.c.x_1<x_2⟹f(x_1)\le f(x_2)$$

È invece strettamente crescente se risulta che $f(x_1)<f(x_2)$.

Dimostrazione esempio

Dimostriamo che $f(x)=x^2$ è crescente:

• Ipotesi: $x_1\le x_2$
• Tesi: $x_1^2<x_2^2$
  $\forall x_{1}e{x}_2\in De\ge 0$
  Dimostrazione:
  $x_1\le x_2$ equivale a dire che $0\le x_2^2-x_1^2$
  quindi $0\le (x_2+x_1)(x_2-x_1)$
  ma $x_2+x_1$ è maggiore di zero perché $x_2$ e $x_1$ sono positivi
  e $x_2-x_1$ è anche maggiore di zero poiché $x_2>x_1$ per tesi
  Allora $f(x)=x^2$ è crescente, inoltre essendo entrambi diversi da $0$, il loro prodotto non può essere $0$, quindi la funzione è strettamente crescente.

Teoremi

Teorema di Weierstrass

Ipotesi: $f:[a,b]\to R:f\in C([a,b])$
Tesi: $\exists x_m\in [a,b],x_M\in [a,b]t.c.f(x_m)=min,f(x_M)=Max$

Teorema degli Zeri

Ipotesi: $f\in C([a,b]):f(a)\cdot f(b)<0$
Tesi: $\exists \overline{c}\in [a,b]t.c.f(\overline{c})=0$
Attraverso questo teorema, con il metodo della bisezione é possibile trovare la posizione dello zero, di volta in volta dimezzando il campo di valori.
Dimostrazione attraverso il Teorema della Permanenza del Segno :
Abbiamo $f(a_n)<0\to \lim f(a_n)=f(c)\le 0$ e $f(b_n)<0\to \lim f(b_n)=f(c)\ge 0$
Quindi $f(c)\le 0$ e $f(c)\ge 0$
Allora $f(c)=0$

Teorema dei Valori Intermedi/dei Carabinieri/del Sandwich

Ipotesi: $f\in C([a,b])$ quindi per il Teorema di Weierstrass esistono massimo e minimo $m=minf$ e $M=maxf$
Tesi: $\exists \overline{c}\in [a,b]t.cf(\overline{c})=\lambda \in ]m,M[$
Per dimostrarlo basta traslare la funzione sull’asse y di modo che λ sia in $y=0$ e poi si applica il teorema degli zeri., dato che ne sono rispettate le ipotesi
Esiste poi il Secondo Teorema dei Valori Intermedi dove semplicemente nella formulazione invece di massimo e minimo si usano estremo inferiore ed estremo superiore.

Teorema di Rolle

Ipotesi: $f\in C([a,b]),fderivabilein]a,b[,f(a)=f(b)$
Tesi: $\exists c\in ]a,b[:f^{\prime }(c)=0$

Teorema di Lagrange

Ipotesi: $f\in C([a,b]),fderivabilein]a,b[$
Tesi: $\exists c\in ]a,b[:f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

I corollario

II Corollario

se $f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in ]a,b[⟹fcrescente$

III Corollario

se $f^{\prime }(x)>0\forall x\in ]a,b[⟹f^{\prime }(x_0)=0$ o

IV Corollario

se $$\begin{gathered} f\in C([a,b]),fderivabilein]a,b[ \\ {x}_0,{\lim }_{x\to x_0^{+}}{f}^{\prime }\ne {\lim }_{x\to x_0^{-}}{f}^{\prime }⟹fnonderivabile \end{gathered}$$

Principali Funzioni

Funzione esponenziale $y=x^2$

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title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-3,10]
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y(x)=x^2

Funzione Logaritmica $y=\ln x$

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title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-3,10,-10,6]
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y(x)= log(x)

Funzione Tangente $y=\tan x$

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title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: true
grid: true
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y(x)=tan(x)