Disuguaglianza Bernoulli

uni 29/09/2023
Per $x>-1$ e $\forall n\in N$ :

$$(1+x{)}^n\ge 1+nx$$

Dimostrazione

La dimostrazione avviene per Principio di induzione:
Passo zero:

$$P(1):1+x\ge 1+x:vera$$

Passo induttivo:

$$(1+x{)}^{N+1}=(1+x{)}^N(1+x)\ge (1+Nx)(1+x)$$ $$=1+Nx+x+N{x}^2=1+(N+1)x+N{x}^2\ge 1+(N+1)x$$

quindi:

$$(1+x{)}^{N+1}\ge 1+(N+1)x$$

C.V.D.