Formulario Algebra Lineare

$u \cdot v = ∣∣ u ∣∣ \cdot ∣∣ v ∣∣ cos θ$ .
$u \times v = ∣∣ u ∣∣ \cdot ∣∣ v ∣∣ sin θ$ .
$u \cdot v = 0$ : ortogonali.
$u \times v = 0$ : linearmente dipendenti.
angolo tra $v, w : cos (ω) = \frac{v \cdot w}{∣∣ v ∣∣ \cdot ∣∣ w ∣∣}$
$(a c b d)^{T} = (a b c d)$ è la trasposta e $(A B)^{T} = B^{T} \cdot A^{T}$
$A$ è simmetrica se $A^{T} = A$ .
matrice antisimmetrica: $0 - b - c b 0 - d c d 0$ .
dimensione di una matrice simmetrica $n \times n$ : $d im A = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
Traccia: (matrici quadrate) somma degli elementi sulla diagonale principale.
se $V$ è uno S.V. e β è una sua base, allora $d im (V) = ∣ β ∣$ = numero degli elementi di una sua qualsiasi base.
uno S.V. $V$ è dato dato da $V = Sp an (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ : $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ sono generatori di $V$ e sono linearmente indipendenti, allora $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ è una base di $V$ .
la base canonica di un S.V. è composta da $n$ matrici nulle meno che un elemento $= 1$ .
matrice identica $I = 100010001$ è quindi tale che $A I = I A = A$ .
prodotto tra matrici $(A B)_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i, k} \cdot B_{k, j}$ con $A^{m \times n}, B^{n \times l} \to A B^{m, l}$
Lemma di Eliminazione siano $v_{1}, ..., v_{n + 1}$ dei vettori in uno S.V. V, se $v_{n + 1}$ è combinazione lineare degli altri allora $SP A N (v_{1}, ..., v_{n + 1}) = SP A N (v_{1}, ..., v_{n})$
Formula di Grassmann $d im (V + W) + d im (V \cap W) = d im (V) + d im (W)$
sistema lineare è un sistema composto da tante equazioni quante incognite e si può abbreviare con $A x = b$ dove $A$ è la matrice dei coefficienti, $x, b$ sono vettori colonna, $x$ delle incognite e $b$ dei termini noti (forma matriciale) e il sistema lineare omogeneo ad esso associato è $A x = 0$ .
Def Applicazione Lineare:
siano $V$ e $W$ S.V. , una app. lin. è una $f : V \to W$ t.c. $f (v_{1} + v_{2}) = f (v_{1}) + f (v_{2})$ e $f (λV) = λ f (v)$
== $k er (f)$ è l’insieme $k er (f) = {v \in V : f (v) = 0}$ ed è sottospazio V. di $V$ == .
$I m (f)$ è l’insieme $I m (f) = {f (v) : v \in V}$ ed è sottospazio V. di $V$ .
se $k er (f) = {\emptyset}$ allora $f$ è iniettiva
se $v_{1}, ..., v_{n}$ sono una base di $V$ allora $f (v_{1}), ..., f (v_{n})$ sono generatori di $I m (f)$ , ma non è detto che siano linearmente indipendenti, lo sono solo se $f$ è iniettiva e quindi se $k er (f)$ è vuoto.
Teo. Rank Nullity: se $f : V \to W$ è applicazione lineare allora $d im (k er (f)) + d im (I m (f)) = d im (V)$ , corollario: se $d im (V) > d im (W)$ allora $f$ non è iniettiva, se $d im (V) < d im (W)$ allora $f$ non può essere suriettiva ( $I m (f) \neq = W$ ). Se invece $d im (V) = d im (W)$ allora $f$ è biettiva.
Se ci riferiamo ad una matrice: $d im (k er (A)) + r ank (A) = n$ con $n$ = numero di colonne
Matrice Associata ad una applicazione lineare:
$f : V \to W$ , $v_{1}, ..., v_{n}$ base di $V$ , $w_{1}, ..., w_{m}$ base di $W$
1. calcolo $f (v_{1}) = c_{1, 1} w_{1} + c_{2, 1} w_{2} + ... + c_{m, 1} w_{m}$ e i coefficienti sono la prima colonna della matrice,
2. calcolo $f (v_{2}) = c_{1, 2} w_{1} + c_{2, 2} w_{2} + ... + c_{m, 2} w_{m}$ ed ottengo seconda colonna
3. continuo fino a $f (v_{n})$
Matrice Inversa data una $A$ quadrata $m \times m$ , $A^{- 1}$ è tale che $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I d$ ma $d e t (A)$ DEVE essere DIVERSO da $0$ .
1. se $m = 2$ allora $A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} (d - c - b a)$ con $A = (a c b d)$ e se $d e t (A) = 0$ l’inversa non esiste.
2. Caso generale $A a d g b e h c ∣ f ∣ i ∣ 100010001$ e lavoro alla jordan fino a che la metà di sinistra non torni identica: $100010 0 ∣ 0 ∣ 1 ∣ j m p k n q l o r$ e la parte di destra è $A^{- 1}$ .
una matrice si dice ortogonale se la sua inversa coincide con la sua trasposta.
Matrice Cambio di Base: $V$ S.V. di dimensione finita, $v_{1}, ... v_{n}$ prima base di $V$ , $w_{1}, ..., w_{n}$ seconda base di $V$
1. scrivo $v_{1}$ usando la prima base: $v_{1} = c_{1, 1} w_{1} + c_{1, 2} w_{2} + ... + c_{1, n} w_{n}$ e i coefficienti $c_{x, y}$ formano la prima colonna della matrice
2. continuo fino ad $c_{n}$
  oppure
3. $ma t =$ (inversa di matrice base d’arrivo) $\cdot$ (matrice associata rispetto a basi canoniche) $\cdot$ (matrice base di partenza)
Determinante
1. Algoritmo di Gauss: porto in forma a scala usando solo scambi di riga e operazioni ultraortodosse ( $R_{i} = 1 \times R_{1} + b R_{j}$ ), il $d e t (A) = (m o lt i pl i co d ia g o na l e) \cdot (- 1)^{n u m ero d i sc ambi d i r i g a}$
2. Sviluppi di Laplace: scelgo la riga o colonna con più $0$ , formata da diciamo $(a, b, c, d)$ , $d e t (A) = a \cdot (d e t res t o) - b \cdot (d e t res t o) + c \cdot (d e t res t o) - d \cdot (d e t res t o)$
  Le Proprietà del determinante:
  1. $d e t (I d) = 1$
  2. $d e t (A B) = d e t (A) \cdot d e t (B)$
  3. $d e t (A^{- 1}) = \frac{1}{d e t ( A )}$
  4. $d e t (A^{t}) = d e t (A)$
  5. $d e t (λ A) = λ^{n} d e t (A)$
  6. se $A$ mat diagonale: $d e t (A) = p ro d o tt o e l e m e n t i d ia g o na l e$ (vale anche per mat triangolari)
  7. Se scambio due righe o colonne tra di loro il $d e t$ cambia di segno
  8. Se moltiplico una sola riga o colonna per λ: $d e t (A) = λ d e t (A)$
Sottomatrice: le ottengo togliendo ad una matrice righe e/o colonne.
Minore: determinante delle sottomatrici quadrate
Rango: massima dimensione di un minore con determinante $\neq = 0$ .
1. oppure massimo numero di righe/colonne linearmente indipendenti = $d im (Sp an (r i g h e / co l o nn e))$
2. oppure numero di pivot dopo una riduzione gaussiana a scala
3. oppure la dimensione dell’immagine dell’applicazione lineare
Teorema di Rouché-Capelli:
1. considero un sistema $A x = b$
2. costruisco la matrice $\hat{A} = (A ∣ b)$ , aggiungiamo quindi la colonna $b$
  Allora
3. il sistema ammette soluzione solo se $r an g o (A) = r an g o (\hat{A})$
4. se ha soluzione, allora la soluzione generale dipende da $k$ parametri con $k = n - r$ , $n$ numero di incognite e $r$ rango delle due matrici ed inoltre $k = d im (k er (A))$ .
  I casi quindi sono 2:
  1. i due ranghi sono uguali $\to$ $b$ è comb lin di $c_{1}, ..., c_{n}$
  2. $r an g o (\hat{A}) = r an g o (A) + 1$ $\to$ $b$ NON è comb lin di $c_{1}, ..., c_{n}$
Regola di Cramer: dato un sistema lineare $A x = b$ con $A = n \times n$ , allora ogni incognita è data da: $x_{i} = \frac{d e t ( A _{i} )}{d e t ( A )}$ dove $x_{i}$ è la matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna con la colonna $b$ dei termini noti.
Autovalori, Autovettori, Autospazi, Diagonalizzabilità:
1. un numero λ si dice Autovalore (relativo ad autovettore ecc) di $A$ se esiste un Autovettore $v \neq = 0$ t.c. $A v = λ v$ .
  per trovare gli autovalori di $A$ : $d e t (A - λ \cdot I d) = 0$
  otteniamo un polinomio in λ di grado $n$ se $A$ è una matrice $n \times n$ , che chiamiamo polinomio caratteristico di $A$ . Le radici (gli autovalori) appartengono a $C$ , possono essere quindi complessi o reali, e possono avere molteplicità. $P (λ) = d e t (A - λ I d)$
  Il prodotto degli autovalori è uguale al termine noto del polinomio caratteristico ed è uguale al determinante della matrice (quindi se un $λ = 0$ allora $d e t (A) = 0$ . La somma degli autovalori è uguale alla traccia della matrice. Si dice molteplicità algebrica di una λ ( $m_{a} (λ)$ ) quante volte λ è radice del pol, caratteristico. Si dice molteplicità geometrica di una λ ( $m_{g} (λ)$ ) la dimensione dell’autospazio di λ e quindi $m_{g} (λ) = d im (k er (A - λ \cdot I d)) = n - r an g o (A_{λ} \cdot λ I d)$ .
2. dato un Autovalore λ, si dice Autospazio di λ l’insieme di tutti gli autovettori, compreso lo zero, relativi a λ.
  Quando si diagonalizza una matrice, gli autovalori diventano gli elementi sulla diagonale e gli autovettori diventano le colonne della matrice $M$ .
TH di Diagonalizzazione:
una matrice $A$ $n \times n$ è diagonalizzabile se e solo se $m_{g} (λ) = m_{a} (λ), \forall λ$ quindi se $1 \leq m_{g} (λ) \leq m_{a} (λ)$ e quindi se tutti gli autovalori hanno $m_{g} (λ) = 1$ .
Posso dare queste stesse esatte definizioni per applicazioni lineari $f : V \to V$
Due matrici $A, B$ sono simili se $\exists M in v er t ibi l e t . c . B = M^{- 1} A M$ , allora hanno:
1. stesso polinomio caratteristico
2. stessi autovalori
3. stesso determinante
4. stessa traccia
Teoria delle forme canoniche: data $A$ , trovare $B$ simile che sia il più semplice possibile, quindi:
1. diagonalizzazione di lusso: $M$ è anche ortogonale ( $A^{- 1} = A^{t}$ )
2. diagonalizzazione su reali o complessi
3. nessuna diagonalizzazione, forma alla Jordan su reali o complessi.
TH DERIVATO DA Th Fond dell’Algebra: sia $p (x)$ un polinomio monico di grado $n$ a coefficienti $\in C$ . Allora $p (x) = (x - λ_{1}) (x - λ_{2}) \cdot ... \cdot (x - λ_{n})$ dove quindi $λ_{1}, ..., λ_{n}$ sono le radici di $p (x)$ .
se una matrice è triangolare inf o sup, gli autovalori sono gli elementi sulla diagonale.
Fattorizzazione $A = LU$ : $L = 1 d e 01 f 001$ e $U = a 00 g b 0 h i c$ quindi $LU = a a d e a g d g + b e g + b f h d h + i e h + f i + c = A$
Dischi di Gershgorin:
In un unione di $n$ dischi ci sono $n$ autovalori, quindi in ogni disco isolato c’è un autovalore Reale (se fosse Complesso nello stesso cerchio ci dovrebbe essere anche il suo coniugato).
Matrice Riducibile: una matrice $A$ si dice riducibile se esiste una matrice di permutazione $P$ tale che $P A P^{T} = (A_{11} 0 A_{12} A_{22})$ con $A_{11}, A_{22}$ matrici quadrate.
Geometria:
angolo tra retta e piano: $cos β = \frac{∣ < ( a , b , c p ian o ) , ( d i rez i o n ere tt a ) > ∣}{∣∣ ( a , b , c p ian o ) ∣∣ \cdot ∣∣ ( d i rezre tt a ) ∣∣}$
distanza punto-retta nel piano: $d i s t (P, re tt a) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$
distanza punto-piano: $d i s t (P, p ian o) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$
proiezione di $u$ su $v$ : $p ro i ez (u, v) = \frac{u \cdot v}{∣∣ v ∣ ∣ ^{2}} V$
piano $H$ : $a_{1} x + a_{2} y + a_{3} z = b$ con $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ perpendicolare ad $H$
$u \cdot v \times w =$ area del parallelogramma
$u \times v$ perpendicolare a $u, v$
piano param $\to$ cartesiana: $(p u n t o) + t (v ec) + s (v e t)$ quindi $(a, b, c) = d e t i v v j e e k c t$ e per trovare termine noto sostituisco $p u n t o$
se piano passa per origine, termine noto $= 0$
per intersecare due piani metto a sistema le cartesiane.
per intersecare retta (par) e piano (cart) sostituisco le direzioni della retta nel piano e trovo $t$ .
Numeri complessi:
$\overline{z} = a - bi$
$z^{- 1} = \frac{z}{z z} = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}} - \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}} i$
$∣ z ∣ = z \overline{z} = a^{2} + b^{2}$

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