Moto in Coordinate Polari in un piano

uni
Se scomponiamo velocità e accelerazione in parte tangenziale e parte radiale, capiamo che $a_{tangenziale}$ dipende dalla variazione del modulo della velocità $\vec{v}$, mentre $a_{radiale}$ dipende dalla variazione del vettore della velocità.
$\vec{a}=\sqrt{{\vec{a}}_r^2+{\vec{a}}_t^2}$
$|{\vec{a}}_t|=\frac{d|\vec{v}|}{dt}$
$|{\vec{a}}_r|=\frac{v^2}{r}$
$\vec{v}(t)=\vec{v}(t_0)+{\int }_{t_0}^t\vec{a}(t^{\prime })dt$
$x(t)=x_0+{\int }_{t_0}^t\vec{v}(t)dt$
In forma vettoriale:
${\vec{r}}_0=(x_0,y_0,z_0)$ , ${\vec{v}}_0=(v_{x0},v_{y0},v_{z0})$
vettore posizione: $\vec{r}(t)={\vec{r}}_0+{\int }_{t_0}^t\vec{v}(t)dt$
velocità: $\vec{v}(t)={\vec{v}}_0+{\int }_{t_0}^t\vec{a}(\Gamma )d\Gamma$

In coordinate polari

• Vettore $\vec{R}=(x,y,z)=(R\cos \theta ,r\sin \theta ,0)$
• versore $\hat{R}=(x/R,y/R,0)=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$
• versore $\hat{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta ,0)$
  Il moto è circolare se $R$ è costante.
  Il moto è circolare uniforme se $R$ è costante e $||\vec{V}||$ è costante.
  La velocità angolare $\omega$ è la derivata del vettore $\vec{\theta }$ rispetto al tempo $t$.
  La velocità angolare in questo sistema è un vettore costante ma non negli altri sistemi.
  La velocità è tangente alla traiettoria.
  L’accelerazione ha solo componente radiale.
  Periodo $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$
  Frequenza $V=\frac{1}{|T|}$

$$\begin{array}{c}\vec{\omega }=\frac{d\vec{\theta }}{dt}=(0,0,\theta )=\hat{z}\dot{\theta }⟹{\omega }_z=\omega =\frac{d\theta }{dt}=\dot{\theta }⟹[\vec{\omega }]=rad/s\\ \vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=\frac{d}{dt}(R\cos \theta ,R\sin \theta ,0)=\vec{\omega }\wedge \vec{R}=\hat{\theta }\dot{\theta }R=\omega R\hat{\theta }\\ \vec{a}=-{\omega }^{2}R\hat{R}=-\frac{V^2}{R}\hat{R}\end{array}$$

Riepilogo

$$\begin{array}{cccc}grandezza& circolareuniforme& circolaren/f& generale\\ \theta & lienarecont& variabile& variabile\\ \omega & costante& variabile& variabile\\ \alpha & 0& variabile& variabile\\ |\vec{R}|& costante& costante& variabile\\ |\vec{V}|& costante& variabile& variabile\\ \vec{V}& \vec{\omega }\wedge \vec{R}& \vec{\omega }\wedge \vec{R}& \vec{\omega }\wedge \vec{R}+\dot{R}\hat{R}\\ V_R& 0& 0& \dot{R}\\ V_{\theta }& \omega R& \omega R& \omega R\\ \vec{a}& -{\omega }^2\vec{R}& -{\omega }^2\vec{R}+aR\hat{\theta }& -{\omega }^2\vec{R}+aR\hat{\theta }+2\omega \dot{R}\hat{\theta }+\ddot{R}\hat{R}\\ a_R& -{\omega }^{2}R& -{\omega }^{2}R& -{\omega }^{2}R+\ddot{R}\\ a_{\theta }& 0& aR& aR+2\omega \dot{R}\end{array}$$