Teorema del Confronto

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Il teorema del confronto (o dei due Carabinieri) dice che date due funzioni, una sopra ed una sotto ad un’altra funzione di cui dobbiamo trovare il limite, se le prime due funzioni tendono ad un valore, allora anche la funzione incognita tenderà a quello stesso valore.
$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$
$\forall ϵ > 0; \exists N_{1} \in N t . c . \forall n > N_{1} \to L - ϵ < a_{n} < l + ϵ$
$\forall ϵ > 0; \exists N_{2} \in N t . c . \forall n > N_{2} \to L - ϵ < c_{n} < L + ϵ$
Dimostriamo che $L - ϵ \leq b_{n} \leq L + 3$
Sappiamo che $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ e sappiamo che $L - ϵ < a_{n}$ e che $c_{n} < L + ϵ$
Allora: $L - ϵ < a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} < L + ϵ$ Quindi $L - ϵ \leq b_{n} \leq L + ϵ$ C.V.D.

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