Equazioni Differenziali

uni
Una equazioni in cui l’incognita è una funzione e vi sono presenti una o più derivate.
L’ordine (o grado) di una equazione differenziale è il massimo grado di derivazione presente in essa.
Non esista un metodo di risoluzione generale, esso varia in base al tipo di equazione differenziale.

Equazioni differenziali del $I^o$ ordine

Una equazione differenziale del primo grado si presenta così:

$$y^{\prime }(x)+a(x)y(x)=f(x)$$

Equazioni differenziali elementari

$$y^{\prime }(x)=f(x)$$

Se $a(x)=0$ essa è una equazione differenziale elementare e per risolverla basta portarla nella forma $y^{\prime }(x)=f(x)$ ed integrare membro a membro.

Equazioni differenziali omogenee (o a variabili separabili)

$$y^{\prime }(x)+a(x)y(x)=0$$

Se $f(x)=0$ essa è una equazione differenziale omogenea e per risolvere si applica il seguente procedimento:

1. separo le variabili ( $y^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$ ):

$$\frac{1}{y(x)}dy=a(x)dx$$

2. Integro membro a membro:

$$\int \frac{1}{y(x)}dy=\int a(x)dx$$

3. Ricavo $y(x)$
   IMPORTANTE: Se $\exists \overline{x}\in R:y(\overline{x})=0$ Allora $y(x)=\overline{x}$ è soluzione costante
   Che in breve equivale alla formula:

$$y(x)=c\cdot e^{-A(x)}$$

Equazioni differenziali Lineari non omogenee

$$y^{\prime }(x)+a(x)y(x)=f(x)$$

Se $a(x)\ne 0\ne f(x)$ allora questa si dice equazione differenziale lineare non omogenea e per risolverla si applica il seguente metodo:

1. trovo la primitiva $A(x)$ di $a(x)$: $A(x)=\int a(x)dx$
2. moltiplico entrambi i membri per $e^{A(x)}$
3. mi accorgo che $y^{\prime }(x)e^{A(x)}+a(x)e^{A(x)}y(x)=D[y(x)e^{A(x)}]$
4. integro quindi entrambi i membri e mi rimane: $y(x)e^{A(x)}=\int f(x)e^{A(x)}dx$
5. Ricavo $y(x)$ moltiplicando per $e^{-A(x)}$
   Che in breve equivale alla formula:

$$y(x)=e^{-A(x)}\int e^{A(x)}f(x)dx$$

Equazioni differenziali del $I{I}^o$ Ordine

Equazioni differenziali del $I{I}^o$ ordine Omogenee

Si presentano sotto la forma:

$$a{y}^{\prime \prime }(x)+b^{\prime }(x)+cy(x)=0$$

con $a,b,c\in R$
L’insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione $2$.
La soluzione generale di queste equazioni è del tipo:

$$y(x)=c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)$$

dove $y_1(x)$ e $y_2(x)$ sono una base dello spazio delle soluzioni.

Risoluzione:

Risolvo in $C$ l’equazione caratteristica $a{z}^2+bz+c=0$ e se:

• trovo due soluzioni reali distinte: ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ la base è $e^{{\lambda }_{1}x},e^{{\lambda }_{2}x}$ e la soluzione è:

$$y(x)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$$

• trovo due soluzioni reali coincidenti: la base è $e^{\lambda x},x{e}^{\lambda x}$ e la soluzione è:

$$y(x)=c_1{e}^{\lambda x}+c_{2}x{e}^{\lambda x}$$

• se trovo due soluzioni complesse: ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta$ con $\alpha =\frac{-b}{2}$ e $\beta =\frac{\sqrt{-\Delta }}{2}$ e la soluzione è:

$$y(x)=c_1{e}^{\alpha x}\cos (\beta x)+c_2{e}^{\alpha x}\sin (\beta x)$$

Equazioni differenziali del $I{I}^o$ ordine Non Omogenee

Si presentano sotto la forma:

$$y^{\prime \prime }(x)+b{y}^{\prime }(x)+cy(x)=f(x)$$

Metodo della variazione delle costanti:

1. Determinare la soluzione generale dell’equazione omogenea associata:

$$y_0(x)=c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)$$

2. Trovare una soluzione particolare con questa forma:

$$y_p(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)$$

Risolvendo il seguente sistema:

$$\{\begin{array}{l}{c}_1^{\prime }(x)y_1(x)+c_2^{\prime }{y}_2(x)=0\\ c_1^{\prime }(x)y_1^{\prime }(x)+c_2{y}_2^{\prime }(x)=f(x)\end{array}$$

Integrando gli appena ottenuti $c_1^{\prime }(x)$ e $c_2^{\prime }(x)$ ed inserendoli in $y_p(x)$
3. Trovare la soluzione generale:

$$y(x)=y_0(x)+y_p(x)$$

Metodo della somiglianza

$$y^{\prime \prime }(x)+b{y}^{\prime }(x)+cy(x)=f(x)$$

1. Trovo le radici ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ dell’equazione caratteristica e trovo quindi la soluzione dell’omogenea associata $y_0(x)$
2. Trovo la forma di $y_p(x)$, essa deve essere simile ad $f(x)$
   Esempi:
   - $f(x)=(a_1{x}^2+b_{1}x+c)$ , $y_p(x)=(a{x}^2+bx+c)$
   se un coefficiente in $f(x)$ è $=0$ allora lo stesso coefficiente è $=0$ anche in $y_p(x)$
   - $f(x)=a_1{e}^{bx}$ , $y_p(x)=(a{e}^{bx})$ ovvero l’autovalore rimane lo stesso
3. per ricavare i coefficienti $a,b,c,ecc$ di $y_p(x)$ questa deve essere soluzione dell’equazione differenziale originaria, quindi trovo le sue derivate e la sostituisco al posto di $y^{\prime \prime }(x),y^{\prime }(x),y(x)$ e risolvo. A questo punto ottengo la completa $y_p(x)$
4. Trovo la soluzione $y(x)=y_0(x)+y_p(x)$

Risonanza

Nel metodo della somiglianza, la struttura di $y_p(x)$ cambia in base alla molteplicità algebrica dell’autovalore $\pi$, ovvero in base a quante volte, l’autovalore, il coefficiente $\alpha$ dell’esponenziale, è soluzione dell’equazione caratteristica. Infatti se il termine noto è:

$$f(x)=e^{\alpha x}(p_n(x)\cos \beta x+q_m(x)\sin \beta x)$$

con $\alpha ,\beta \in R$ e $p_n,q_m$ polinomi di gradi $n$ e $m$
allora esso individua il numero complesso $z=\alpha \pm i\beta$
Vi è risonanza con molteplicità $\pi$ solo se $z$ è radice $\pi$-volte dell’equazione caratteristica e quindi la soluzione particolare va cercata della forma:

$$y_p(x)=x^{\pi }{e}^{\alpha x}(P_k(x)\cos \beta x+Q_k(x)\sin \beta x)$$

in cui $k=\max \{n,m\}$ e $P_k,Q_k$ sono polinomi a coefficienti incogniti di grado $k$.