Matrici

uni

Matrici e Sistemi Lineari

Ogni sistema lineare si può scrivere nella forma:

$$Ax=b$$

$A_{n\times m}$ è la matrice dei coefficienti.
$x_{m\times 1}$ è il vettore colonna delle incognite.
$b_{n\times 1}$ è il vettore colonna dei termini noti.
Il sistema ha tante equazioni quante sono le righe di $A_{n\times m}$ e i termini noti $b_{n\times 1}$, ($n$).

Notazione

Indichiamo con $M_{n\times m}$ l’insieme delle matrici con $n$ righe e $m$ colonne.
Se $A\in M_{n\times m}$ allora l’elemento che sta nella riga $i$ e colonna $j$ si indica con $A_{i\times j}$.
Se $n=1$ allora la matrice prende il nome di Vettore Riga.
Se $m=1$ allora la matrice prende il nome di Vettore Colonna.
Se $n=m=1$ allora la matrice è un solo numero.

Matrici Speciali

1. Matrice Nulla = matrice con tutti $0$.
2. Matrice Identità $I_{n\times n}$= matrice quadrata con tutti $1$ sulla diagonale principale e $0$ altrove: $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
   tutte le volte che moltiplico una matrice per una matrice identità, ottengo la matrice stessa.
3. Distinguiamo 2 situazioni:
   1. $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}\{\begin{array}{l}HermitianaA=A^H\\ AntiHermitianaA=-A^H\\ Unitaria{A}^H\cdot A=A\cdot A^H=Ie{A}^{-1}=A^H\\ Normale{A}^H\cdot A=A\cdot A^H\end{array}$
   2. $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}\{\begin{array}{l}SimmetricaA=A^T\\ AntiSimmetricaA=-A^T\\ Ortogonale{A}^T\cdot A=A\cdot A^T=Ie{A}^{-1}=A^T\end{array}$

Sottomatrice

Una sottomatrice è una porzione della matrice di partenza, quindi una matrice che ha rango minore rispetto alla matrice genitrice.
Il suo determinante è detto minore.

Matrice di Permutazione

Data $P\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ si dice matrice di permutazione se $P$ si ottiene da $I$ permutandone (cambiandone l’ordine) le righe o le colonne.

Proprietà

1. le matrici di permutazioni sono ortogonali
2. il prodotto di $A$ con $P$ mi restituisce $A$ permutata:
   • sulle righe se $P$ a sinistra
   • sulle colonne se $P$ a destra

Operazioni

Somma / Differenza

$$A+B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+e& b+f\\ c+g& d+h\end{array}\right)$$

Moltiplicazione per uno Scalare

$$k\cdot A=k\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ka& kb\\ kc& kd\end{array}\right)$$

Prodotto di Matrici

Moltiplico le righe della prima per le colonne della seconda

$$A_{n\times m}\cdot B_{m\times k}=M_{n\times k}=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}g& h\\ i& j\\ k& l\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ag+bi+ck& ah+bj+cl\\ dg+ei+fk& dh+ej+fl\end{array}\right)$$ $$(AB{)}_{i,j}=\sum _{r=1}^m{A}_{i,r}\cdot B_{r,j}$$

Proprietà

1. Se le dimensioni sono compatibili il prodotto è distributivo: $(A+B)C=AC+BC$
2. Il prodotto si distribuisce rispetto al prodotto per una costante: $(\lambda A)B=\lambda (AB)$
3. Il prodotto è associativo: $A(BC)=(AB)C$
4. Il prodotto NON è commutativo: $AB\ne BA$ e probabilmente $BA$ non si può nemmeno fare.

Matrice Trasposta

La Matrice Trasposta $A^t$ di $A$ è la matrice che si ottiene scambiando le righe con le colonne.

$$(A^t{)}_{n\times m}=A_{m\times n}=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$$

Determinante

Il Determinante ($\det A$ o $|A|$) è:

1. una funzione che prende in input $n$ vettori di $R^n$ e restituisce in output un numero. Se il risultato è $0$ i vettori sono linearmente dipendenti.
2. funzione che prende in input una matrice $A_{n\times n}$, quindi quadrata, e restituisce un numero.

Minore Complementare

$$M_{i,j}=\det (A-i-j)$$

Complemento Algebrico (o Sviluppo di Laplace)

$$A_{i,j}=(-1{)}^{i+j}{M}_{i,j}$$

Definizione Assiomatica (le proprietà)

Le Proprietà:

1. $\det I_{n\times n}=1$
2. se tra gli $n$ vettori ce ne sono due uguali allora il $\det =0$
3. $\det (v_1,v_2,\lambda v_3,...,v_n)=\lambda \det (v_1,...,v_n)$
4. le somme escono fuori: $\det (v_1,...,v_i+v_j,...,v_n)=\det (v_1,v_i,...,v_n)+\det (v_1,v_j,...,v_n)$
   Le proprietà 3 e 4 le posso riassumere dicendo che il determinante è una funzione lineare di ognuno degli $n$ vettori.
5. se scambio due vettori tra di loro il determinante cambia segno.

Determinante di una matrice 2x2

$$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-cb$$

Formula Generale per il Determinante

Il Determinante di una generica matrice quadrata è la somma degli elementi di una riga (o di una colonna) moltiplicati per il loro complemento algebrico. Posta la riga $k$ con $1\le k\le n$ :

$$\det (A_{n\times n})=\sum _{i=1}^n{a}_{k,i}{A}_{k,i}$$

Rango

Il rango di una matrice è definito come il massimo numero di colonne linearmente indipendenti (che coincide con il max numero di righe linearmente indipendenti) ed è uguale all’ordine massimo dei minori $\ne$ 0 nella matrice

Proprietà

se $rango(A)=dim(Im(A)),A\in {\mathbb{C}}^{m\times n}\Rightarrow Im(A)=\{y\in {\mathbb{C}}^m:y=Ax,x\in {\mathbb{C}}^n\}$
se $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}rango(A)<n⟺det(A)=0$

Kernel (nucleo)

Kernel risponde alla definizione di insieme delle soluzioni di $Ax=0$, più formalmente:$Ker(A)=\{x\in {\mathbb{R}}^{m\times n}:Ax=0\}$
ecco che tramite Teorema di Rouché-Capelli vediamo che $dim(Ker(A))=n-rango(A)$

Autovalori e Autovettori

Data $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n},\lambda \in \mathbb{C}$ si dice autovalore se $\exists vettorev\in {\mathbb{C}}^n,v\ne 0t.c.Av=\lambda v$ .
In questo caso v si dice autovettore destro di $A$ rispetto a $\lambda$ .
Similmente si dice autovettore sinistro se vale $w^{H}A=\lambda w^H$.
Osservazione:
$w$ è autovettore sx rispetta a $\lambda seesolosew$ autovalore dx per $A^H$ rispetto a $\overline{\lambda }$ :$(w^{H}A{)}^H=A^{H}w⟶(\lambda w^H{)}^H=\overline{\lambda }w$ Domanda: ma $\exists$ autovalori e autovettori di una matrice?$Av=\lambda v⟶Av-\lambda v=0⟺(A-\lambda I)v=0$
Per Teorema di Rouché-Capelli il sistema ha soluzioni diverse dal vettore nullo $seesolosedet(A-\lambda I)=0\Rightarrow$ Equazione Caratteristica .
Ne segue che gli autovalori sono le radici di questa equazione!! $det(A-\lambda I)=\stackrel{PolinomioCaratteristico}{\overbrace{c_0+c_1\lambda +\cdots +c_n{\lambda }^n}}$
se prendiamo in considerazione il Polinomio Caratteristico troviamo che:$p_x(A)=det(A-\lambda I)=(-1{)}^n{\lambda }^n+(-1{)}^{n-1}{\sigma }_1{\lambda }^{n-1}+\cdots -{\sigma }_{n-1}\lambda +{\sigma }_n$
dove:

• ${\sigma }_j$ è la somma dei minori delle sottomatrici principali di ordine j
• considerando l’affermazione di sopra ${\sigma }_1={\sum }_{j=1}^n{a}_{jj}=$ traccia di $A$
• di conseguenza ${\sigma }_n=det(A)={\prod }_{j=1}^n{\lambda }_j$ , se $det(A)=0⟺\exists \lambda =0$

Molteplicità

Un autovalore ha molteplicità algebrica $\alpha (\lambda )=k$ se $k$ è la sua
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