Valori Assoluti

uni 28/09/2023
Indicato dai segni $|$ attorno all’argomento, rende positivo un eventuale valore negativo e lascia positivo un eventuale valore positivo:
$|-3|=+3$
Se l’argomento è una variabile conviene trasformarlo in un sistema:

$$|x|=\{\begin{array}{l}xsex\ge 0\\ -xsex\le 0\end{array}$$

Proprietà del valore assoluto:

Proprietà della disuguaglianza triangolare:

$$|x+y|\le |x|+|y|$$

Dimostrazione:
$-|x|\le x\le |x|$
// per $y$
Allora $-|x|-|y|\le x+y\le |x|+|y|$
ciò vuol dire che $|x+y|\le |x|+|y|$ C.V.D.

Lipschitzianità:

$$||x|+|y||\le |x-y|$$

Dimostrazione:
$|x|=|(x-y)+y|\le |x-y|+|y|$
$|y|=|(y-x)+x|\le |y-x|+|x|$
$|y|\le (x-y)+|x|$
$|x|-|y|\le |x-y|$
$|y|-|x|\le |x-y|$