Numeri di Macchina

uni

$$\begin{array}{c}\text{dati}\beta \in N,m\in N,L,U\in Z\text{tale che}L<U\\ \text{Definiamo}\\ F(\beta ,m,L,U)=\left\{x\in R:segno(x)\cdot {\beta }^e{\sum }_{j=1}^m{\alpha }_j{\beta }^{-j},L\le e\le U,{\alpha }_j\in \{0,..,\beta -1\},{\alpha }_1\ne 0\right\}\cup \{\varnothing \}\end{array}$$

esempio per $\beta =2,L=-1,m=3,U=3\to [{\beta }^i,{\beta }^{i+1}]$

se guardiamo i numeri in scala logaritmica sarebbero equispaziati.
In ogni intervallo $[2^i;2^{i+1}]$ ho numeri di macchina che hanno esponente $e=i+1$ e variano solo di mantissa.

Minimo Numero Rappresentabile: ${\beta }^{L-1}$
Massimo Numero Rappresentabile: ${\beta }^U(1-{\beta }^{-m})$
Quanti sono i numeri di Macchina in Binario: $2\cdot (U-L+1)$

Rappresentazioni più comuni (Standard IEEE)

	$\beta$	$m$	$L$	$U$	Memoria
Precisione Singola	2	24	-125	128	32
Precisione doppia	2	53	-1021	1024	64
Ci potremmo chiedere come mai $L$ assume valori non ovvi (-125 invece di -128? ecc), questo perché alcuni valori per l’esponente sono considerati speciali, uno rappresenta $+\infty$, uno $-\infty$ ed infine uno comunica che i numeri che stiamo analizzando sono [[#numeri-sottonormalizzati	Numeri Sottonormalizzati]].

La IEEE sta lavorando alla standardizzazione dei numeri reali in virgola mobile su 8 bit, ma è possibile che float8 abbia diverse versioni, con K = 3,4 o 5, quest’ultima sarebbe nell’interesse della comunità del machine learning.

Approssimazione

In genere ci viene fornito $x\notin F(\beta ,m,L,U)$, in particolare ricadiamo in una di queste tre possibilità:

1. $|x|>{\beta }^u(1-{\beta }^{-m})$ : overflow
2. $|x|<{\beta }^{L-1}$ : underflow
3. ${\beta }^{L-1}\le |x|{\beta }^U(1-{\beta }^{-m})$ : arrotondamento

Definiamo allora una funzione tale che: $RD:R\to F(\beta ,m,L,U)$ e $RD(x)=\text{uno dei due numeri di macchina vicini}$

Troncamento Round-Down

$$\begin{array}{c}Tr(x)=\lfloor x\rfloor \\ \\ \lfloor x\rfloor =sgn(x)\cdot {\beta }^e{\sum }_{j=1}^m{\alpha }_j{\beta }^{-j}\end{array}$$

vale la seguente disuguaglianza:

$$\text{errore}:|Tr(x)-x|\le {\beta }^{e-m}$$

Troncamento Round-Up

$$\begin{array}{c}Up(x)=\lceil x\rceil \\ \\ \lceil x\rceil =sgn(x)\cdot {\beta }^e\cdot \left({\sum }_{j=1}^m{\alpha }_j{\beta }^{-j}+{\beta }^{-m}\right)\end{array}$$

Round-to-Nearest

$$\{\begin{array}{llc}\lceil x\rceil & \text{se}& {\alpha }_{m+1}\ge \frac{\beta }{2}\\ \lfloor x\rfloor & se& {\alpha }_{m+1}<\frac{\beta }{2}\end{array}$$

vale quanto segue:

$$\begin{array}{ccc}1.& \text{errore}:& |Rn(x)-x|\le \frac{{\beta }^{e-m}}{2}\\ & & \\ 2.& |x-Rn(x)|=\min |z-x|& z\in F(\beta ,m,L,U)\end{array}$$

Precisazioni sui numeri in virgola mobile

• Errore Assoluto: ${\delta }_x=x-Rn(x)$
• Errore Relativo: ${ϵ}_x=\frac{x-Rn(x)}{x}$
• Precisione di Macchina: $U={\beta }^{1-m}$
  • single precision: $U\approx 10^{-8}$
  • double precision: $U\approx 10^{-16}$
    I numeri in virgola mobile garantiscono un errore relativo limitato in modo uniforme (salvo over/under-flow).

Implementazione

	$\beta$	$m$	$L$	$U$	segno	mantissa	esponente	U	Memoria
Precisione Singola	2	24	-125	128	1	23	8	$10^{-8}$	32
Precisione doppia	2	53	-1021	1024	1	52	11	$10^{-16}$	64
Precisione Quadrupla	2	113	-16381	16384	1	112	15	$10^{-32}$	128

Numeri Sottonormalizzati

Per numeri compresi in $[0;{\beta }^{L-1}]$, possiamo utilizzare la sottonormalizzazione, ovvero tramite un valore speciale di $e$ indichiamo alla macchina che il numero è sottonormalizzato, e questa lo intenderà diversamente:
significa che implicitamente $e=L$ e ${\alpha }_1=0$ e si usano le restanti cifre della Mantissa.

Così facendo ottengo valori equispaziati fra $0$ e ${\beta }^{L-1}$ con distanza ${\beta }^{L-m}$.
Notiamo però che così facendo, più ci avviciniamo allo $zero$ e più aumenta l’errore relativo ${ϵ}_x$.