Integrali per Sostituzione

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Teoria

Siano $f:I\to R$ una funzione continua e $g:J\to I$ una funzione derivabile con derivata continua. Si ha che:

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=[\int f(t)dt{]}_{t=g(x)}$$

Nel caso in cui la funzione $g(t)$ sia invertibile [[Funzioni#suriettiva-o-invertibile|suriettiva o invertibile]], allora vale la seguente formula di integrazione, allora vale la seguente formula di integrazione:

$$\int f(x)dx=[\int f(g(t))g^{\prime }(t)dt{]}_{t=g^{-1}(x)}$$

Le due forme sono del tutto equivalenti e in base a come si presenta la funzione integranda sta a noi scegliere quale conviene adoperare.

Applicazione

Abbiamo un integrale che si presenta nella forma:

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx$$

1. Poniamo $t=g(x)$ e deriviamo membro a membro in modo da ottenere il nuovo differenziale

$$dt=g^{\prime }(x)dx$$

2. Sostituiamo nell’integrale e otteniamo:

$$\int f\stackrel{t}{\overbrace{(g(x))}}\stackrel{dt}{\overbrace{g^{\prime }(x)dx}}=\int f(t)dt$$

3. Calcoliamo l’integrale $F(t)+c$
4. Sostituiamo a $t$ l’espressione analitica della funzione $g(x)$ nella primitiva $F(t)$ e otteniamo

$$F(g(x))+c$$