Formula di Lagrange

uni
Partendo da

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

Per sistemi LTI possiamo calcolare in forma chiusa la funzione di transizione di stato (ovvero la soluzione):

$$\{\begin{array}{l}x(t)=\varphi (t,t_0,x(t_0),u(\dot{}))\\ y(t)=\gamma (t,t_0,x(t_0),u(\dot{}))\end{array}$$

Equazioni differenziali omogenee, caso scalari

Sappiamo che se abbiamo a che fare con Equazioni Differenziali Scalari Omogenee, la sua soluzione dato $x(t_0=0)=x_0$ è una esponenziale (Numeri Immaginari (o Complessi)).

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=a\cdot x(t)\\ x(t_0=0)=x_0\end{array}\\ \text{soluzione:}x(t)=x_0{e}^{a\cdot t}\end{array}$$

Che sarà crescente, decrescente o costante, a seconda del valore di $a$: se la parte reale è positiva sarà crescente, se è negativa sarà decrescente, se è $0$ sarà costante.

Sviluppiamo in serie la funzione esponenziale:

$$e^{a\cdot t}=\sum _{i=0}^{\infty }{a}^i\frac{t^i}{i!},a\in R$$

Equazioni differenziali omogenee, caso vettoriale

Noi però abbiamo a che fare con sistemi di equazioni differenziali, consideriamo quindi il caso vettoriale omogeneo:
dato un sistema LTI con $u(t)=0,\dot{x}=Ax(t),x(t_0)=x_0$

$$\begin{array}{c}\mathbf{Teorema}:\\ \text{La soluzione dell’equazione differenziale vettoriale eˋ del tipo:}\\ x(t)=e^{A\cdot t}{x}_0\\ \text{dove}{e}^{A\cdot t}={\sum }_{i=0}^{\infty }{A}^i\frac{t^i}{i!}\\ \text{eˋ chiamato esponenziale della matrice }A\end{array}$$

$e^{A\cdot t}$ è la matrice di transizione e determina in assenza di ingresso il moto libero del sistema.

Siamo arrivati alla soluzione:

$$x(t)=\varphi (t,t_0,x(t_0),u=0)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)$$