Trasformata di Laplace

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La trasformata di Laplace è uno strumento matematico fondamentale nell’analisi dei sistemi dinamici, nelle equazioni differenziali e nel controllo automatico. Essa permette di trasformare equazioni differenziali nel dominio del tempo in equazioni algebriche nel dominio della frequenza complessa, facilitando la loro risoluzione.

Questa trasformata trova applicazioni in ingegneria, fisica e teoria dei segnali, rivelandosi uno strumento potente per lo studio dei sistemi lineari e la progettazione di circuiti elettrici e meccanici.

Definizione

Formalmente, la trasformata di Laplace di una funzione $f(t)$, definita per $t\ge 0$, è data da:

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$

dove $s$ è un numero appartenente ai Numeri Immaginari (o Complessi) con parte reale sufficientemente grande affinché l’integrale converga.

Applicabilità

La trasformata di Laplace è applicabile a tutte le funzioni che posseggono i seguenti requisiti:

• $f(t)$ definita sul semiasse reale positivo del piano complesso
• $f$ generalmente continua: può essere divisa in tratti in cui è continua e ammette limite destro e sinistro diversi (ovvero ammette salti)
• $t\in R$
• $f$ di ordine esponenziale $\alpha$, ovvero: $\exists \alpha ,M>0$ tale che per qualche $t_0>0$: $|f(t)|\le M{e}^{\alpha t},t>0$

Condizione Formale di Convergenza

Condizione Necessaria e Sufficiente di Convergenza dell’integrale della trasformata di Laplace:

$${\int }_0^{+\infty }|f(t)e^{-st}|dt<\infty ,\forall s\in I$$

Notiamo che se l’integrale converge per un $S_0\in C$, allora converge $\forall s\in C$ tali che:

$$Re(s)>Re(S_0)$$

con $S_0$ ascissa di convergenza: il valore minimo della parte reale tale che l’integrale converga.
L’ascissa di convergenza separa il piano complesso in due parti, una nella quale converge, ed una nella quale non converge.

Singolarità della trasformata di Laplace

Data $F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$:

• zeri del sistema dinamico: le radici di $N(s)=0$
• poli del sistema dinamico: le radici di $D(s)=0$

Antitrasformata di Laplace

$$f(t)=L^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\gamma -\infty }^{\gamma +\infty }F(s)e^{st}ds$$

Assumendo $f(t)=0,\forall t<0$.

Procedimento attraverso la decomposizione in Fratti Semplici

1. Decompongo la funzione in fratti semplici:

$$G(s)=\frac{n(s)}{d(s)}=\frac{n(s)}{{\prod }_i(s-s_i{)}^{h_i}}$$

dove $s_i$ è un ___polo___, con molteplicità $h_i$.

2. Scrivo $G(s)$ come somma di Residui Polari:

$$G(s)=\sum _{i=1}\sum _{j=1}^{h_i}\frac{K_{ij}}{(s-s_i{)}^{h-j}}$$

dove $i$ è l'indice dei poli distinti e $j$ si riferisce alla molteplicità.

3. Calcolo i Residui:

$$K_{ij}=\frac{1}{(j-1)!}\underset{s\to s_i}{\lim }\frac{d^{j-1}}{d{s}^{j-1}}(s-s_i{)}^h\cdot G(s)$$

4. Finalmente antitrasformiamo:

$$g(t)=\sum _{i=1}\sum _{j=1}^{h_i}{K}_{ij}\cdot t^{j-1}\cdot e^{p_i\cdot t}$$

Proprietà della Trasformata di Laplace

Proprietà di Linearità

$$L\{c_1\cdot f_1(t)+c_2\cdot f_2(t)\}=c_1\cdot F_1(s)+c_2\cdot F_2(s)$$

Ed inoltre l’ascissa di convergenza è il massimo tra le ascisse di convergenza dei termini originari.

Proprietà della Traslazione di t

$$L\{f(t-t_0)\}=e^{-s{t}_o}F(s)$$

Proprietà di Scala

$$L\{f(a\cdot t)\}=\frac{1}{a}\cdot F\left(\frac{s}{a}\right)$$

Proprietà di Derivazione in s

$$L\{t\cdot f(t)\}=-\frac{dF(s)}{ds}$$

Proprietà di Traslazione in s

$$F(s-a)=L\{e^{at}ft)\}$$

Proprietà di Derivazione in t

$$L\left\{\frac{df}{dt}\right\}=s\cdot F(s)-f(0)$$

Proprietà di Integrazione in t

$$L\{{\int }_0^{t}f(t)dt\}=\frac{1}{s}F(s)$$

Proprietà di Convoluzione

$$L\{f_1(t)\ast f_2(t)\}=F_1(s)\cdot F_2(s)$$

Vedi Convoluzione.

Teorema Valore Iniziale

$$\underset{t\to 0}{\lim }f(t)=\underset{s\to \infty }{\lim }s\cdot F(s)$$

Teorema Valore Finale

$$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot F(s)$$

Condizione: ${\lim }_{t\to \infty }f(t)$ deve esistere ed essere finito (ovvero il sistema deve essere stabile, ma non marginalmente).

Tabella delle Trasformate di Laplace

$$\begin{array}{ccc}\text{nome}& f(t)& F(s)\\ \text{Delta di Dirac}& \delta (t_0)& e^{-s{t}_0}\\ \text{Funzione gradino}& 1(t)& \frac{1}{s}\\ \text{Gradino Traslato}& 1(t-t_0)& \frac{e^{-s{t}_0}}{s}\\ \text{Funzione Esponenziale}& e^{at}& \frac{1}{s-a}\\ \text{seno}& \sin (wt+\varphi )& \frac{w\cdot \cos \varphi +s\cdot \sin \varphi }{s^2+w^2}\\ \text{coseno}& \cos (wt+\varphi )& \frac{s\cdot \cos \varphi +w\cdot \sin \varphi }{s^2+w^2}\end{array}$$