Sistema LKKT

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Il sistema LKKT (Lagrange-Kurush-Kuhn-Tucker) è un sistema composto dalla funzione Lagrangiana e da altri vincoli basati sulla regione ammissibile (Regione Ammissibile della PNL), le cui soluzioni sono i punti stazionari e quindi contengono massimi e minimi del problema.

$$LKKT:\{\begin{array}{l}\nabla f(x)+{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i\cdot \nabla g_i(x)+{\sum }_{j=1}^p{\mu }_j\cdot \nabla h_j(x)=0\\ {\lambda }_k\cdot g_k(x)=0\forall k\in m\\ h_l(x)=0\forall l\in p\end{array}$$

Tutte le soluzioni $\overline{x}=(x,\lambda ,\mu )$ che risolvono il sistema sono punti stazionari_.

Classificazione dei Punti Stazionari

Una $\overline{x}\in \{puntistazionaroi\}$ può essere $\min /\max$ $locale/globale$ o $Sella$.

• se $\lambda$ discordi $\to$ $Sella$
• se $\lambda \ge 0\to mG/mL/Sella$
• se $\lambda \le 0\to MG/ML/Sella$
  Se non esiste una soluzione $\overline{x}=\{x,\lambda ,\mu \}$ che soddisfa il sistema allora massimo e minimo non esistono ($\pm \infty$).
  Se il poliedro è limitato, una soluzione $\overline{x}$ esiste per il Teorema di Weierstrass.
  In un punto interno al dominio, le $\lambda$ sono $zero$ e le $h$ non esistono, il sistema si riduce quindi a $\nabla f(x)=0$.