MatLab

uni
MATLAB è un ambiente per il Calcolo Numerico e l’analisi statistica scritto in C, che comprende anche l’omonimo linguaggio di programmazione creato dalla MathWorks.

Se si incontra una funzione di cui non si conosce/ricorda l’utilizzo è possibile invocare la guida: help nomefunzione.

Funzioni

function[y1] = nomefunzione(x1,x2)

• input x1 e x2, output y1
  Questa dichiarazione deve essere la prima istruzione eseguibile del file che contiene la funzione.
  puoi salvare una funzione in:
• un file nomefunzione.m
• oppure un file che contiene solamente definizioni di funzioni, il nome del file deve corrispondere con il nome della prima funzione contenuta nel file
• oppure in uno script che contiene comandi e definizioni di funzione, in questo caso le funzioni devono essere contenuta alla fine del file e lo script non può avere il nome di nessuna delle funzioni al suo interno

Un file può contenere molteplici funzioni locali o innestate. Al fine della leggibilità è consigliato terminare ogni funzione con end.

In particolare la parola chiave end è richiesta sempre in questi casi:

• una qualunque funzione in un file contiene una funzione innestata
• la funzione è una funzione locale all’interno di un file che contiene solo funzioni e, a sua volta, ogni funzione locale usa la parola chiave end.
• la funzione è locale all’interno di uno script

Per terminare una esecuzione prima dell’end della funzione si può usare return.

Esempio

function [area] = areacerchio(raggio)
%AREACERCHIO Funzione che calcola l’area del cerchio di raggio r
%se viene fornito un raggio negativo ritorna il valore flag -1
if raggio < 0
	area = -1;
	return
	end
area = pi*raggio^2;
end

Sintassi

• help comando per ottenere info sul comando

Matrici e Vettori

• a:t:b crea una matrice con componenti che partono da $a$ ed arrivano a $b$ ad incrementi di $t$. Se $t=1$ si può anche solo usare a:b.
• v = linspace(a,b,n) restituisce un vettore composto dagli n numeri tra a e b equidistanziati
• A(x,y,z)=k per assegnare il singolo elemento della matrice di coordinate x,y,k, se cerco di scrivere un elemento che non esiste, la matrice viene ingrandita
• lenght(A) : length of vector
• size(A) : size of matrix
• A' : trasposta
• A=diag(v,k) crea una matrice con elementi del vettore v sulla k-esima diagonale e 0 altrove.
• A( x1:y1 ; x2:y2 ) seleziona la sottomatrice di $A$ con estremi i punti delle coordinate specificate.
• : da solo è un’abbreviazione per 1:end
• [L,U,P]=LU(A) rende fattorizzazione LU di A con pivoting

Grafici

• plot(x,y)` con x, y vettori della stessa lunghezza
• loglog(x,y) rappresenta la stessa cosa ma su scala logaritmica su entrambi gli assi

Misurazione del Tempo

• tic; istruzione toc; misura il tempo di istruzione
• misurazione più precisa: timeit, fa la media di molte esecuzioni

Optimization ToolBox

Linprog

Per risolvere un Problema di Programmazione Lineare (PL), MatLab offre linprog.
Risolve i problemi nel seguente forma:

$$\{\begin{array}{l}min{c}^{T}x\\ Ax\le b\\ A_{eq}=b_{eq}\\ LB\le x\le UB\end{array}$$

dove $LB$ e $UB$ sono i vettori dei lower e upper bound.
Questa forma è una forma standard, quindi ogni problema PL può essere portato in questa forma

Esempio

$$\{\begin{array}{l}max{x}_1+x_2\\ 3x_1+5x_2\ge 7\\ 2x_1+6x_2-9x_3=9\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\\ x_2\le 8\end{array}$$

Digitare: (ordine e nomi alle matrici non contano, conta solo ordine nel comando linprog(…))

>> c=[-1 0 -1]
>> UB=[ ; 8 ; ]
>> LB=[0;0;0]
>> beq=[9]
>> b=[-7 ; 3]
>> A=[-3 -5 0 ; 1 0 1]
>> Aeq=[2 6 -8]
>> [x,v]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub)
>> appare soluzione: x=(val ottimo)

Intlinprog

$$\{\begin{array}{l}min{c}^{T}x\\ Ax\le b\\ A_{eq}=b_{eq}\\ LB\le x\le UB\\ x\end{array}$$

[x,v]=intlinprog(c,int,a,b,aeq,beq,lb,ub)
dove intcom è la lista degli indici di variabili che devono essere intere.
se per esempio ho 4 variabili e le voglio tutte intere: int=[1 2 3 4] oppure int=[1;2;3;4]

Quadprog

$$\{\begin{array}{l}\min \frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x\\ A\cdot x\le b\\ Aeq\cdot x=beq\\ lb\le x\le ub\end{array}$$

[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(h,f,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0,options)

esempio: $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+y^2-xy-2x-6y$
h = [1 -1 ;-1 2]
f = [-2 ; -6]
a = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];
######### exitflag

Assignment

Restituisce l’assegnamento di costo minimo del TSP, per fare poi l’algoritmo delle toppe.

assignment([matricespecchiatadeicostiTSP])

fgh_display(f,g,h,x,range,c)

Disegna il dominio e il valore della funzione su questo dominio.

f=x1*2+3*x1*x2 ...
g1= x2+3 ..
..
g4= ..
fgh_display(f, [g1;g2;g3;g4], [], [],[],[])

minsearch

[x,fval]= fminsearch('6*x(1)^2+3*x(2)-9*x(1)*x(2) ecc',x0)

Gradiente proiettato

esegue un passo del gradiente proiettato, inserire bene le matrici vettore, b e x, non possono essere inserite matrici righe.
MINIMIZZA

RicOp.gradienteProiettato(f,a,b,xk,100)

Gomory

esegue un taglio di gomory a partire da una certa X di base.
Vanno inseriti i dettagli della forma duale std, quindi con gli scarti!!!
MI RACCOMANDO I PUNTI E VIRGOLI PER I VETTORI COLONNA.

gomory(c,x,a,b)
x
%es:
%per trovare gli scarti (vanno messi nella x), vettore s=b-a*x dove b e a NON %hanno i vincoli di positività (sono già nel duale)
c=[43 45 0 0]
x=[32 ; 12 ; s1 ; s2]
a=[123 132 1 0 ; 3 98 0 1]
b=[12 ; 1]

Simplex

esegue un passo del simplesso, MASSIMIZZA ATTENZIONE!!!!!

RicOp.pSimplex(f,A,b,base,iter)
 
⎰ max f'*x
⎱ A*x<=b
            % EXAMPLE
            % f = [-7 1]
            % A = [
            % 	-3 2;
            % 	-1 -3;
            % 	0 1;
            % 	3 2;
            % 	1 0;
            % 	2 -1; ]
            % b = [4; -6; 5; 22; 6; 16]
            % base = [4 5]