Studio di Funzioni

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I passi dello studio di Funzioni:

Dominio

Determinare il Dominio della funzione.

Studio del Segno

Trovare le intersezioni con gli assi e determinare il segno della funzione lungo il Dominio.

Simmetrie

Studiare le eventuali simmetrie della funzione:

1. Pari: $f(x)=f(-x)$ $\to$ simmetria rispetto all’asse y
2. Dispari: $f(x)=-f(-x)$ $\to$ simmetria rispetto all’origine

Asintoti

Studiare gli eventuali asintoti della funzione calcolando il Limiti della $x$ che tende ai punti di discontinuità e a $\pm \infty$.

Orizzontale

L’asintoto è orizzontale se ${\lim }_{x\to \pm \infty }=L\in R$

Verticale

L’asintoto è verticale se ${\lim }_{x\to L\in R}=\pm \infty$

Obliquo

L’asintoto è obliquo se ${\lim }_{x\to \pm \infty }=\pm \infty$ e $q$ e $k$ sono finiti e l’equazione dell’asintoto è $y=mx+q$ :

• $m={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$
  se $m$ è finito e $\ne 0$ allora $q=$
• $q={\lim }_{x\to \infty }f(x)-mx$
  se anche $q$ è finito allora l’asintoto obliquo esiste e ne abbiamo trovato l’equazione.

Punti di Non Derivabilità

Una funzione è derivabile in punto $x_0$ se

$$f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=L\in R$$

Flesso a Tangente Verticale

$$f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=\pm \infty$$

Cuspide

$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\pm \infty e{f}_{+}^{\prime }(x_0)=\infty disegnoopposto$$

Punto Angoloso

$$f_{-}^{\prime }(x_0)\ne f_{+}^{\prime }(x_0)\ne \pm \infty$$

E l’angolo compreso è:

$$\tan \alpha =\frac{f_{-}^{\prime }(x_0)-f_{+}^{\prime }(x_0)}{1+f_{-}^{\prime }(x_0)\cdot f_{+}^{\prime }(x_0)}$$

Derivata I, Massimi e Minimi

Per studiare massimi e minimi di una funzione si studia il suo andamento attraverso la Derivata Prima. Se la Derivata è positiva la funzione sale, se è negativa scende. Nei punti in cui $f^{\prime }(x_0)=0$ abbiamo dei punti di massimo e minimo, ne possiamo trovare altri agli estremi degli insiemi che formano il dominio.

Derivata II, Concavità

Quando la Derivata Seconda è positiva, la derivata prima sale e quindi si ha una concavità verso l’alto, se è negativa la derivata prima scende e si ha quindi una concavità verso il basso.

Punti di Flesso

Nelle radici della funzione derivata Seconda di una Funzione troviamo i Punti di Flesso, che possono essere ascendenti, discendenti, orizzontali, verticali oppure obliqui:

Flesso Orizzontale

$$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=0$$

Flesso Obliquo

$$f^{\prime \prime }(x_0)+0;f^{\prime }(x_0)\ne 0$$

Flesso Verticale

$$f^{\prime \prime }(x_0)\nexists ;f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=\pm \infty$$