Stabilità secondo Lyapunov

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Consideriamo le conseguenze sul movimento del sistema di un’incertezza sul valore iniziale dello stato, con l’ipotesi di ingressi fissi e noti.

Un sistema si dice asintoticamente stabile se a partire da piccole variazioni dello stato iniziale ottengo piccole variazioni del movimento dello stato, che si annullano eventualmente per tempi abbastanza lunghi.

Definizione:
Preso un ingresso costante $u(t)=\overline{u}$ corrispondente ad uno stato di equilibrio $\overline{x}$, consideriamo un movimento perturbato ottenuto sempre da $u(t)$ ma a partire da uno stato iniziale $x_0$ invece di $\overline{x}$,
Definiamo uno stato di equilibrio $\overline{x}$ stabile se $\forall ϵ>0$, esiste $\delta >0$ tale che per tutti gli $x_0$ che soddisfano $||x_0-\overline{x||}\le \delta$ il movimento del sistema rimane vicino allo stato di equilibrio ed in particolare si ha $||x(t)-\overline{x}||\le ϵ,t{\ge }_0$.

Definizione:
Uno stato di equilibrio è asintoticamente stabile se $\forall ϵ>0\exists \delta >0\text{ tale che }\forall x_0:||x_0-\overline{x}||\le \delta$ si ha: $||x(t)-\overline{x}||\le ϵ,t\ge 0$ e inoltre: ${\lim }_{t\to \infty }||x(t)-\overline{x}||=0$.