Derivata

uni

Significato Geometrico

Per capire la derivata prendiamo in esempio una funzione di equazione di secondo grado ($y=x^2$), diciamo che vogliamo trovare il coefficiente angolare medio in un determinato intervallo $[x_0;x_1]$:
Ci basta fare il rapporto tra la differenza dell’ordinata dei due punti e la differenza dell’ascissa degli stessi: $m=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$. Ora riscriviamo $x_1=x_0+h$ e sostituiamo: $m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. Ora più rimpiccioliamo $h$, la differenza tra le due ascisse, e più ci avviciniamo al coefficiente angolare effettivo nel punto $x_0$.

Rapporto Incrementale

Ora per ottenere definitivamente il coefficiente angolare adoperiamo l’operazione di limite, ed ecco che arriviamo a quello che si chiama rapporto incrementale:

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Se questo limite esiste ed è finito, la funzione $f(x)$ si dice derivabile nel punto $x_0$ e il valore che assume il limite si dice derivata di $f$ in $x_0$.

Notazioni

$f^{\prime }(x_0)$ (Notazione di Lagrange) oppure $\dot{f}(x_0)$ (Notazione di Newton) oppure $\frac{d^n}{d{x}^n}f(x_0)$ (Notazione di Leibniz) oppure $D^{n}f(x_0)$ (Notazione di Eulero).

Derivabilità

Una funzione si dice derivabile in un punto se il rapporto incrementale in quel punto esiste ed è finito, oppure se la derivata destra e la derivata sinistra in quel punto sono uguali.
Se la funzione è derivabile in ogni punto di un insieme $A$ allora la funzione si dice derivabile in $A$.
A questo punto possiamo scrivere una funzione che ad ogni $x_0\in A$ associ una $f^{\prime }(x_0)$, questa funzione prende il nome di Funzione Derivata Prima: $y=f^{\prime }(x)$

Derivata di un Valori Assoluti

Una funzione valore assoluto $|f(x)|$ è derivabile solo se nel punto $x_0$ in cui $f(x_0)=0:f^{\prime }(x_0)=0$

Derivata delle Funzioni Elementari

Costanti

se $f(x)=k$ allora $f^{\prime }(x)=0$.

Potenze

se $f(x)=x^n$ allora $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$

Funzioni Trigonometriche

1. Seno: se $f(x)=\sin x$ allora $f^{\prime }(x)=\cos x$
2. Coseno: se $f(x)=\cos x$ allora $f^{\prime }(x)=-\sin x$ ]
3. Tangente: se $f(x)=\tan x$ allora $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$
4. Cotangente: se $f(x)=\cot x$ allora $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-1-{\cot }^{2}x$
5. Arcoseno: se $f(x)=\arcsin x$ allora $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
6. Arcocoseno: se $f(x)=\arccos x$ allora $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
7. Arcotangente: se $f(x)=\arctan x$ allora $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1-x^2}$
8. Arcocotangente: se $f(x)=arccotx$ allora $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{1-x^2}$

Esponenziale

se $f(x)=e^x$ allora $f^{\prime }(x)=e^x$

Logaritmo

se $f(x)={\log }_{a}x$ allora $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}{\log }_{a}e=\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}$

Regole di Derivazione

Somma

$$Df(x)+g(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$$

Prodotto

$$Df(x)g(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$

Rapporto

$$D\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Tabella delle Derivate

$$\begin{array}{cc}Derivate& \\ Dk=0& D\sin x=\cos x\end{array}$$