Successioni

uni
Una successione numerica è una funzione che associa ad ogni numero naturale n un numero reale r.
Sono indicate con $f_n$ dove $n\in N$.
Una successione si dice limitata se: $\exists M>0t.c.|a_n|<M,\forall ninN$
Il Limiti della successione è dato da:

$$\forall ϵ>0\exists n_{0}inNcon{n}_0>0t.c.\forall n>n_{0}risulta|a_n-a|<ϵ$$ $$li{m}_{n\to \infty }{a}_n=a$$

Successioni monotone

Una Successione è detta monotona crescente se $\forall n\in N:a_n<a_{n+1}$
Una Successione è invece detta monotona non decrescente (o crescente in senso lato) se $\forall n\in N:a_n\le a_{n+1}$

Sottosuccessioni

$b_n$ è detta sottosuccessione di $a_n$ se $\exists k:N\to Nstrettamentecrescentet.c.b_n=a_{k_n}$

Teorema di Regolarità per Sottosuccesioni

Se il Limiti ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L(+\infty )allora\forall a_{n_k}sottosuccessionedi{a}_n:{\lim }_{k\to \infty }a-n_k=L(+\infty )$
In parole povere la sottosuccessione di una successione ha lo stesso limite della successione.

Corollario del Teorema di Regolarità per Sottosuccessioni

Se esistono due sottosuccessioni di $a_n$, $a_{n_k}$ e $a_{m_k}$ tali che ${\lim }_{n\to \infty }{a}_{n_k}\ne {\lim }_{m\to \infty }{a}_{m_k}$ allora la successione $a_n$ non ammette limite.

Limiti di successioni

OGNI successione monotona ammette limite.
Ogni Successione Monotona limitata ammette come limite l’estremo, superiore o inferiore che sia.

1. Limite di una successione crescente limitata superiormente: teorema
   Ipotesi: $a_n\le a_n+1$ , $\forall n\in N$ ; $\exists Mt.c.a_n\le M$ , $\forall n\in N$
   Tesi: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\sup a_n$
2. Il limite di una successione crescente non limitata superiormente: teorema
   ipotesi:
   1. $a_n\le a_{n+1}$
   2. $\forall k\in R:\exists \overline{n}t.c.a_{\overline{n}}>k$
   tesi:
   ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=+\infty$