Analisi Strutturale di Un Sistema

uni

Stabilità

stabilità	Modi	Autovalori
Asintotica	tendono a $0$	$Re(\lambda )<0$
Marginale	limitati	$Re(\lambda )\le 0$ e per i $\lambda$ per cui $Re(\lambda )=0$, $q$ (dimensione del blocco di jordan relativo) $=1$, ovvero $mg=ma$

Esempio

$$A=\left[\begin{array}{cccccc}-7& |& 0& 0& |& 0\\ 0& |& 0& -2& |& 0\\ 0& |& 2& 0& |& 0\\ 0& |& 0& 0& |& -8\end{array}\right]$$

questa è una matrice diagonale a blocchi, quindi sappiamo che gli autovalori di questa matrice sono gli autovalori dei blocchi:

• ${\lambda }_1=-7$
  il prossimo blocco presenta due autovalori complessi coniugati:
• ${\lambda }_2=0+2j$
• ${\lambda }_3=0-2j$
  ed infine l’ultimo:
• ${\lambda }_4=-8$
  Quindi abbiamo 4 autovalori distinti, di cui due con parte reale nulla, il sistema può quindi essere o instabile o marginalmente stabile, se e solo se le relative molteplicità geometrica e algebrica coincidono. Essendo tutti autovalori distinti le molteplicità algebriche sono pari a $1$, inoltre sappiamo che $mg\le ma$, quindi $mg=1=ma$, quindi il sistema è marginalmente stabile.

Modi

• Se gli autovalori sono tutti diversi e reali, i modi sono tanti quanti gli autovalori e si calcolano come $e^{{\lambda }_{i}t}$.
• I modi relativi ad autovalori complessi coniugati si calcolano invece come $e^{\sigma t}\cos (\omega t)$ e $e^{\sigma t}\sin (\omega t)$.
• I modi relativi ad autovalori con molteplicità algebrica non unitaria sono $t^j{e}^{{\lambda }_{i}t}$ con $j=0,...,ma-1$