Insiemi

uni 26/09/2023
Gli insiemi vengono rappresentati con lettere maiuscole, gli oggetti con lettere minuscole. Vengono rappresentati attraverso i Diagrammi di Eluero-Venn.

Definizione di un insieme

Dato un insieme $A$
$[a,b]=x\in A:a\le x\le b$ : insieme chiuso
$]a,b[=x\in A:a<x<b$ : insieme aperto (anche scritto $(a,b)$)
$[a,b)=x\in A:a\le x<b$ : insieme semiaperto (o semichiuso)

Massimo, Maggiorante e Estremo Superiore

Definizione: il Massimo $\overline{M}$ di un insieme $A$ per essere tale deve:

1. essere Maggiorante di $A$: $(\overline{M}\ge a,\forall a\in A)$.
2. appartenere ad $A$.
   In un insieme semiaperto o non limitato superiormente il massimo non esiste. Stessa cosa per il minimo in un insieme semiaperto o non limitato inferiormente.

Maggiorante $M$

È Maggiorante di $A$ ogni numero tale che $M\ge a,\forall a\in A$ .

Estremo superiore $sup$

È $supA$ il più piccolo tra i Maggioranti di $A$.
Se esiste un massimo $M$ di un insieme $A$, questo è anche limite superiore $sup$.

Definizione:

$S\in R$

1. $a\le S\forall a\in A$
2. $\forall ϵ>0;\exists x\in At.c.x>S-ϵ$

Teorema di esistenza dell’estremo superiore

Se un insieme $A$ è limitato superiormente allora il limite superiore $sup$ esiste ed è finito.

Dimostrazione di “Se il massimo esiste è unico”:

$M_1<M_2$
$M_1\ge a\forall a\in A$ e $M_1\in A$
$M_2\ge a\forall a\in A$ e $M_2\in A$
Ma se $M_1$ deve essere più grande di tutti gli elementi di $A$ deve essere anche più grande di $M_2$ , ma la stessa cosa vale se avessimo posto $M_1>M_2$ , e dobbiamo avere una di queste due condizioni affinché $M_1\ne M_2$ , allora è impossibile, $M_1$ ed $M_2$ coincidono per forza.

Le operazioni

Le operazioni con gli insiemi sono le seguenti:

Unione

indicato con il simbolo:

$$\wedge$$ $$A\wedge B=tuttiglioggettidiAediB$$

Intersezione

indicata con il simbolo:

$$\vee$$ $$A\vee B=tuttiglioggettisiainAcheinB$$

Prodotto Cartesiano

Indicato con il simbolo:

$$\times$$ $$A\times B=\{(a,b)t.c.a\in A,b\in B\}$$

Il prodotto cartesiano tra due insiemi è un insieme composto tra coppie ordinate di argomenti contenuti uno in A ed uno in B.

Sottoinsieme

Indicato con il simbolo:

$$\subseteq$$ $$A\subseteq B⟹\forall x\in A,x\in B$$

Dire che A è un sottoinsieme di B vuol dire che ogni elemento di A è anche un elemento di B.

Punti Interni, Esterni e di Frontiera

Un punto interno è un punto per il quale esiste almeno un intorno interamente contenuto nell’insieme. Definizione: $x_0\in A$ , $x_0$ è un punto interno di $A$ se

$$\exists ϵ>0t.c.B(x_0,ϵ)\subset A$$

Un punto esterno è un punto per il quale esiste almeno un intorno completamente contenuto nel complementare dell’insieme. Definizione: $x_0$ è esterno ad $A$ se

$$\exists ϵ>0:B(x_0,ϵ)\cap A=\varnothing$$

Un punto di frontiera è un punto sia interno che esterno.
Definizione: $x_0$ è un punto di Frontiera di $A$ se

$$\forall ϵ>0:\exists y_1\in A,\exists y_2\in A^C:y_1,y_2\in B(x_0,ϵ)$$

Diversi tipi di insiemi:

N: i numeri naturali

numeri interi positivi

Z: i numeri interi

numeri interi positivi o negativi

Q: i numeri razionali

numeri decimali finiti

R: i numeri reali

I numeri decimali non finiti

È un insieme non numerabile perché tra due numeri ve ne sono infiniti e non esiste una funzione bigettiva tale che $f:N\to R$.

$[x]=\{maxk,conk\in Z;k\le x\}$ ovvero la parte intera di $x$, approssimazione di $x$ per difetto.
$\{x\}=x-[x]$ ovvero la parte decimale di $x$.

Troncatura

Per comodità si può rappresentare un numero $r\in R$ con $n$ cifre decimali:
$[r{]}_n$: troncatura del numero $r$ con $n$ cifre decimali

Cardinalità

Indicata con il simbolo # :

$$\#(A)=n\in N⟹\exists fbigettivat.c.f:A\to \{1,2,3,...,n\}$$

A è finito se: $\exists n\in Nt.c.\#A=n$