Rappresentazione Cartesiana

uni Gobbino

Esplicita

$$y=mx+q$$

Pro:

1. Comunque scelgo $m$ ed $q$ ottengo una retta.
2. due rette diverse hanno $m$ ed $q$ diversi.

Contro:

1. Non rappresenta rette verticali.

Significato dei parametri

$q$ è l’ordinata del punto sull’origine.
$m$ è il coefficiente angolare della retta = tangente dell’angolo tra retta e semiasse positivo.

Rette Parallele

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Rette Perpendicolari

Due rette sono perpendicolari se hanno $m_2=-\frac{1}{m_1}$, ovvero se i loro coefficienti angolari sono gli inversi dei reciprochi.

Le rette passanti per l’origine

Passano per l’origine tutte le rette di equazione $y=mx$

Implicita

$$ax+by+c=0$$

Pro:

1. Rappresentano tutte le rette.

Contro:

1. La rappresentazione non è unica.
2. Non è vero che ottengo una retta per ogni $a$, $b$ o $c$.

Rette Parallele

Due rette sono parallele se hanno $a$ e $b$ rispettivamente uguali.

Perpendicolarità

data una retta $ax+by+c=0$, il vettore $(a,b)$ le è perpendicolare.

Le rette passanti per l’origine

$ax+by=0$
$<(a,b),(x,y)>=0$, sono tutti i vettori $(x,y)$ che sono perpendicolari ad $(a,b)$.

Passaggio da Cartesiana Esplicita a Parametrica

Data una retta $y=mx+q$, calcolo due punti $P$ e $Q$ a scelta, la rappresentazione parametrica è

$$P+t(Q-P)⟹(x_p,y_p)+t(x_q-x_p,y_q-y_p)$$

Passaggio da Cartesiana Implicita a Parametrica

Data una retta $ax+by+c=0$, trovo un punto qualsiasi sulla retta, per esempio pongo $y=0$ e scrivo $P(x=-\frac{c}{a},y=0)$ e infine la retta è

$$P+t(-b,a)oppureP+(b,-a)$$

poiché la direzione $(a,b)$ è perpendicolare alla retta $ax+by+c=0$.