Rappresentazione in Virgola Mobile

uni
Questo è un metodo di rappresentazione per numeri reali che risolve il problema di rappresentare $x\in R$ usando solo parametri $\in N,Z$.

Fissato $\beta >1,\in N$, possiamo sempre trovare un certo esponente $e\in Z$ ed una successione di cifre $\{{\alpha }_j{\}}_{j=1,2,..}$ tale che:

$$x=segno(x)\cdot {\beta }^e\cdot \sum _{j=1}^{\infty }{\alpha }_j\cdot {\beta }^{-j}\text{con}segno(x)=\{\begin{array}{ll}1& x>0\\ -1& x<0\end{array}$$

ad esempio: $3,14=+1\cdot 0,314\cdot 10^1$

Abbiamo però un problema: questa rappresentazione presentata così non è unica.

---

Teorema di Rappresentazione:

La rappresentazione in virgola mobile è unica se:

$$\begin{array}{c}\text{dati}\beta \in N,\beta >1,x\in R\text{e}x\ne 0\\ \text{Allora}\exists \text{ed eˋ unica la rappresentazione:}\\ x=segno(x)\cdot {\beta }^e\cdot {\sum }_{j=1}^{\infty }{\alpha }_j\cdot {\beta }^{-j}\text{tale che}\\ 1.{\alpha }_i\ne 0\\ 2.\nexists k\in N:{\alpha }_j=\beta -1\forall j>k\end{array}$$

Derivati:

1. l’unica rappresentazione che soddisfa quanto sopra si chiama rappresentazione in virgola mobile normalizzata.
2. la serie ${\sum }_{j=1}^{\infty }{\alpha }_j{\beta }^{-j}$ si dice Mantissa e vale $\frac{1}{\beta }\le {\sum }_{j=1}^{\infty }{\alpha }_j\cdot {\beta }^{-1}<1$
3. l’intervallo di rappresentabilità è fissato dal numero di cifre dell’esponente e l’accuratezza è fissata dal numero di cifre della mantissa.

---

Problema: Su un computer non possiamo utilizzare infinite cifre, dobbiamo quindi troncare la mantissa ed usare un insieme limitato per l’esponente, qui entrano in gioco i Numeri di Macchina.