Vettori

uni
Un vettore è un segmento orientato, cioè un segmento $AB$ i cui estremi sono considerati in un certo ordine. Un vettore è caratterizzato dalle seguenti proprietà:

• direzione = la direzione della retta passante per i due punti.
• verso = il verso che sulla retta da $A$ porta a $B$ o da $B$ a $A$ .
• modulo = detto anche intensità o lunghezza, e definito come la misura del segmento $AB$ rispetto ad una fissata unità di misura.

Operazioni tra vettori

• Somma (differenza)
  siano $x$ e $y$ in $R^n$, diciamo $\vec{x}=(x_1,...,x_n)$ e $\vec{y}=(y_1,...,y_n)$ allora

$$\vec{x}+\vec{y}=(x_1+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n)$$

• Prodotto per uno scalare
  $\vec{x}=(x_1,...,x_n)$ e $a\in R$

$$a\vec{x}=(a{x}_1,...,a{x}_n)$$

• Prodotto scalare Canonico
  $\vec{x}=(x_1,...,x_n)$ e $\vec{y}=(y_1,....y_n)$

$$\vec{x}\bullet \vec{y}oppure<\vec{x},\vec{y}>=||\vec{x}||\cdot ||\vec{y}||\cdot cos\gamma =x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n$$

Prorietà:
- $<\vec x , \vec y + \vec z> \  =  \ < \vec x, \vec y> + < \vec x , \vec z >$
- $< a \cdot \vec x , \vec y > = a\  \cdot < \vec x, \vec y>$   

• Norma
  Dato un vettore $\vec{x}=(x_1,...,x_n)$ e $a\in R$ la sua Norma è

$$||\vec{x}||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$$

ossia

$$||\vec{x}||=\sqrt{<\vec{x},\vec{x}>}$$

Ed è la lunghezza (modulo) del vettore.

• Distanza tra due vettori
  Dati $x$ e $y$ in $R^n$, diciamo $\vec{x}=(x_1,...,x_n)$ e $\vec{y}=(y_1,...,y_n)$

$$dist(\vec{x},\vec{y})=||\vec{x}-\vec{y}||=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+...+(x_n+y_n{)}^2}$$

• Prodotto Vettoriale
  Il modulo del prodotto vettoriale è l’area del parallelogramma definito da $\vec{v}$ e $\vec{w}$.
  Il modulo del vettore risultante:

$$\vec{v}\times \vec{w}oppure\vec{v}\wedge \vec{w}=||\vec{v}||\cdot ||\vec{w}||\sin (\theta )$$

La direzione del vettore risultante è la direzione ortogonale al piano che contiene i vettori $\vec{v}$ e $\vec{w}$.
Il verso si ricava con la regola della mano destra.
Proprietà:
- Proprietà distributiva
- Proprietà di Bilinearità
- Proprietà Anticommutativa: $\vec{v}\times \vec{w}=-\vec{w}\times \vec{v}$
Formula per vettori $\in R^3$: $\vec{v}\times \vec{w}=(v_2{w}_3-v_3{w}_2,v_3{w}_1-v_1{w}_3,v_1{w}_2-v_2{w}_1)$