Diagramma di Nyquist

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Questo diagramma serve per rappresentare la risposta in frequenza della Funzione di Trasferimento in forma polare di sistemi SISO in catena chiusa, a partire dalla conoscenza del sistema in catena aperta.
Gli assi sono in scala lineare, per questo non è adatto per rappresentare moduli molto piccoli.
Può essere tracciato per punti al variare di $\omega$.
Viene normalmente tracciato a partire dalla conoscenza del Diagramma di Bode della funzione.

Metodo

1. Trovare Diagramma di Bode.
2. Dal piano complesso posso escludere tutti i quadranti in cui sicuramente il diagramma di nyquist non passa (in base alla fase assunta nel diagramma di bode).
3. Trovare quadrante (angolo) di partenza: $\theta =h\cdot \frac{\pi }{2}$, con $h$ tipo del sistema (oppure guardare da dove parte il diagramma della fase).
4. Se il sistema è di tipo diverso da $0$ ha sicuramente un asintoto, per trovarlo calcolare ${\lim }_{w\to 0}G(jw)$ e scomporre in parte reale ed immaginaria.
5. Trovare l’angolo di arrivo, quindi il limite di $w$ che tende ad $\infty$ del diagramma di fase.
6. Specchio il diagramma rispetto all’asse reale
7. Partendo da $0^{-}$, compio una mezza rotazione all’infinito in senso orario per ogni polo nell’origine.

Criterio di Nyquist

Il criterio di Nyquist è un criterio per giudicare la stabilità di un sistema in catena chiusa a partire dalla conoscenza del sistema in catena aperta.
Una volta tracciato il diagramma di Nyquist per il sistema in catena aperta $G(s)$, definiamo:

• $N_{ao}$: il numero di rotazioni in senso antiorario attorno al punto $\left(\frac{-1}{k},0\right)$.
• $P^{+}$: il numero in catena aperta ($G(s)$) di poli a parte reale positiva.
• $Z=N_{ao}-P^{+}$: il numero di Poli instabili in catena chiusa

Quindi: il sistema è stabile in catena chiusa se e solo se $Z=0$, inoltre è sicuramente instabile se $N_{ao}<0$ (ovvero compie rivoluzioni in senso ORARIO attorno a $(\frac{-1}{k},0$).

Perché funziona? Quando chiudi un sistema $G(s)$ in catena chiusa ottiene $G_{c.chiuso}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$ e vuoi quindi che il denominatore sia lontano da $0$, ovvero vuoi che $G(s)$ sia lontano da $-1$. Mettendo un controllore proporzionale $k$, la $G(s)$ diventa $k\cdot G(s)$, quindi vuoi che questa funzione sia lontana dal punto $\left(\frac{-1}{k},0\right)$.

Particolari utili

• Approssimazione di Taylor: $\frac{1}{1+x}\approx 1-x$ per $x\to 0$.