Sistemi del Secondo Ordine con Laplace

uni
Supponiamo di aver risolto un sistema fisico, otteniamo quindi una equazione differenziale del secondo ordine:

$$a_2\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+a_1\frac{dy}{dt}+a_{0}y=b_{0}u$$

Applicando la proprietà di derivata della Trasformata di Laplace, e dopo passaggi di manipolazione algebrica otteniamo:

$$Y(s)=\underset{\text{risposta in evoluzione forzata}}{\underbrace{\frac{b_0}{a_0+a_1\cdot s+a_2{s}^2}U(s)}}+\underset{\text{risposta in evoluzione libera}}{\underbrace{\frac{a_2\cdot s\cdot y(0)+a_2\cdot \dot{y}(0)+a_1\cdot y(0)}{a_0+a_1\cdot s+a_2\cdot s^2}}}$$

Se il sistema è stabile, dopo un certo tempo $t$, la risposta in evoluzione libera tende a $0$ e possiamo quindi ignorarla.

Poli

Possiamo quindi ora trovare i poli della risposta forzata:

$$\begin{array}{c}Y(s)=\frac{b_0}{a_0+a_1\cdot s+a_2{s}^2}U(s)\\ p_{1,2}=\frac{-a_1\pm \sqrt{\Delta }}{2\cdot a_2}\\ \Delta =a_1^2-4\cdot a_0\cdot a_2\end{array}$$

Poli Reali

Scriviamo ora la funzione $G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)=1}=Y(s)$ nelle due forme di Bode ed Evans, introducendo 4 variabili e le relative relazioni con i parametri del sistema:

$$\begin{array}{c}\text{Bode:}G(s)=G(0)\frac{1}{(1+s\cdot T_1)(1+s\cdot T_2)},G(0)=\frac{b_0}{a_0}\\ \text{Evans:}G(s)=\frac{\frac{b_0}{a_2}}{(s+p_1)(s+p_2)}\\ p_1\cdot p_2=\frac{1}{T_1\cdot T_2}=\frac{a_0}{a_2}\\ p_1+p_2=\frac{-a_1}{a_2}\\ T_1=\frac{1}{p_1},T_2=\frac{1}{p_2}\end{array}$$

Calcoliamo la risposta al gradino:

$$\begin{array}{c}Y(s)=G(s)\cdot U(s)=\frac{\frac{b_0}{a_2}}{(s+p_1)(s+p_2)}\cdot \frac{1}{s}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1/T_1}+\frac{C}{s+1/T_2}\\ A=\frac{b_0}{a_0}=G(0)\\ B=\frac{T_1}{T_2-T_1}\cdot G(0)\\ C=-\frac{T_2}{T_2-T_1}\cdot G(0)\\ y(t)=G(0)\cdot (1+\frac{T_1\cdot e^{-t{T}_1}-T_2\cdot e^{-t{T}_2}}{T_2-T_1})\cdot 1(t)\end{array}$$

Grafico della risposta al gradino di un generico sistema di secondo ordine con poli reali distinti:

Poli Reali Coincidenti

Calcoliamo la risposta al gradino di un sistema di secondo grado con poli reali coincidenti:

$$\begin{array}{c}Y(s)=G(s)\cdot U(s)=\frac{b_0/a_2}{{\left(s+\frac{1}{T_2}\right)}^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1/T}+\frac{C}{(s+1/T{)}^2}\\ T^2=\frac{1}{p^2}=\frac{a_2}{a_0}\\ A=\frac{b_0}{a_0}=G(0)\\ B=-G(0)\\ C=-\frac{G(0)}{T}\\ y(t)=G(0)\cdot (1-e^{-t/T}\cdot (1+\frac{1}{T}))+1(t)\end{array}$$

Poli Complessi Coniugati

Risposta Libera

Ridenominiamo la parte reale e la parte e la parte complessa dei poli:

$$\begin{array}{c}G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_0}{a_0+a_1\cdot s+a_2{s}^2}\\ p_{1,2}=\frac{-a_1\pm \sqrt{a_1^2-4\cdot a_0\cdot a_2}}{2\cdot a_2}\\ \alpha =-\frac{a_1}{2\cdot a_2}\\ \beta =\sqrt{\frac{a_0}{a_2}(1-\frac{a_1^2}{4\cdot a_2\cdot a_0})}\\ \\ \text{Pulsazione di Risonanza:}\\ w_0=\sqrt{\frac{a_0}{a_2}}\\ \\ \text{Smorzamento:}\\ \xi =\frac{a_1}{2\sqrt{a_0\cdot a_2}}\end{array}$$

• Lo smorzamento descrive l’energia dissipata dal sistema.
• Se $\alpha$ fosse nullo (la parte reale), vorrebbe dire che $a_1$ sarebbe nullo e quindi lo sarebbe anche lo smorzamento e il sistema oscillerebbe all’infinito.

Possiamo anche riscrivere la forma di Bode e quella di Evans in funzione di questi nuovi parametri:

$$\begin{array}{c}\text{Bode:}G(s)=\frac{G(0)}{1+2\cdot \xi \cdot \frac{s}{w_0}+\frac{s^2}{w_0^2}}\\ \text{Evans:}G(s)=\frac{G(0)\cdot w_0^2}{s^2+2\cdot \xi \cdot w_0\cdot s+w_0^2}\end{array}$$

Risposta al Gradino di Sistemi del Secondo Ordine

Calcoliamo la risposta al gradino di questi sistemi:

$$\begin{array}{c}y(t)=L^{-1}\{G(s)\cdot \frac{1}{s}\}=\\ y(t)=G(0)\cdot [1-e^{-\xi w_{0}t}(\cos (\underset{\text{Pulsazione}}{\underbrace{\sqrt{1-{\xi }^2}\cdot w_0}}\cdot t)+\frac{\xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}\sin (\underset{\text{Pulsazione}}{\underbrace{\sqrt{1-{\xi }^2}\cdot w_0}}\cdot t))]\cdot 1(t)\\ \\ \text{Forma compatta:}\\ y(t)=1-e^{-\xi w_{o}t}\sqrt{1+\frac{{\xi }^2}{1-{\xi }^2}}\sin \left(w_0\sqrt{1-{\xi }^2}\cdot t+\arctan \left(\frac{\sqrt{1-{\xi }^2}}{\xi }\right)\right)\end{array}$$

e disegnamone un generico grafico qualitativo: