Progettazione di un Controllore

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Parametri Caratteristici

• $t_d$: tempo di ritardo, il tempo necessario a raggiungere il 50% del guadagno statico
• $t_r$: tempo di risposta, il tempo necessario a raggiungere il valore del guadagno statico: $\text{per un target di 90\%G(0):}{t}_r=\frac{1.8}{w_n}$
• $s$ ( o $M_p$): overshoot, la massima elongazione relativa, di solito in percentuale: $s\%=100e^{\frac{-\xi \pi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}}$
• $t_p$ (o $t_{max}$): tempo di massima elongazione: $t_{max}=\frac{\pi }{w_n\sqrt{1-{\xi }^2}}$
• $t_s$ (o $t_{ass}$): tempo di assestamento, il tempo necessario per raggiungere (e mantenere) un valore compreso in una certa fascia di tolleranza $ϵ$, di solito del $2\%$, oppure del $5\%$: $t_{ass}=\frac{-\ln (\frac{\pm \Delta \%}{100})}{\xi w_n}$
• $T_P$: periodo di oscillazione, periodo tra due picchi: $T_P=\frac{2\pi }{w_n\sqrt{1-{\xi }^2}}$

Calcolo degli errori

Ingresso $r(t)$	Tipo 0	Tipo 1	Tipo 2
Gradino $1(t)$	$\frac{1}{1+k}$	$0$	$0$
Rampa $t\cdot 1(t)$	$\infty$	$\frac{1}{k}$	$0$
Parabola $\frac{1}{2}\cdot t^2\cdot 1(t)$	$\infty$	$\infty$	$\frac{1}{k}$
Per calcolare l’errore ad un determinato ingresso, applico il teorema del valore finale della Trasformata di Laplace alla funzione errore $E(s)=\frac{1}{1+L(s)}$.

Margini

Idealmente vorremo un margine di fase (Margini di Fase e di Guadagno) di $90\mathrm{deg}$, ma non sempre è possibile, utilizziamo quindi la seguente regola empirica:

$$m_{\varphi }\ge m_{\varphi }^{\ast }\approx 100{\xi }^{\ast }$$

con ${\xi }^{\ast }$ lo smorzamento relativo all’overshoot desiderato.

Cancellazione di Modi indesiderati

È possibile progettare un controllore tale che annulli le parti della $G(s)$ che non ci piacciono, non posso però svolgere cancellazioni improprie, ovvero cancellare zeri e poli con parte reale maggiore di $0$.
Questo perché nella realtà queste cancellazioni non sono perfette e non possiamo quindi operare con dinamiche instabili.

Sensitività e Reiezione dei Disturbi di Carico

La sensitività è la Funzione di Trasferimento che lega i disturbi di carico all’uscita.

$$S(s)=\frac{1}{1+L(s)}$$

con $L(s)=C(s)\cdot G(s)$, ovvero la funzione in anello aperto.

$$Y(s)=\frac{1}{1+L}\cdot D(s)=S(s)\cdot D(s)$$

Una specifica possibile è la seguente:

$$\begin{array}{c}S(s)\le {ϵ}_n\text{per}w\le w_n\\ \to |1+L(s)|\ge \frac{1}{{ϵ}_n}\to |L(s)|\ge \frac{1}{{ϵ}_n}\text{per}w\le w_n\end{array}$$

Reiezione dei disturbi di Misura

La Funzione di Trasferimento che studia l’amplificazione dell’azione di controllo in funzione del riferimento e/o del disturbo è la seguente:

$$\begin{array}{c}Q(s)=\frac{C(s)}{1+C(s)\cdot G(s)}=\frac{C(s)}{1+L(s)}\\ \text{e quindi}U(s)=Q(s)\cdot R(s)\text{o}N(s)\end{array}$$

Frequenza di Taglio (o crossover)

La frequenza di Taglio è la frequenza alla quale il modulo della Funzione di Trasferimento ad anello aperto ($L(s)=C(s)\cdot G(s)$) è $1$, ovvero $0dB$.
Normalmente prendiamo la prima frequenza alla quale $|L(s)|=1$.
Se $|L(s)|\ne 1\forall w$ la frequenza di taglio non esiste, non posso quindi calcolare il margine di fase.

Banda Passante

La banda passante è la frequenza alla quale il modulo della funzione di trasferimento ad anello chiuso ($H(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}$) è di $3dB$ inferiore rispetto a $H(0)$.