Luogo delle Radici

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Questo metodo è stato presentato da Walter R. Evans ne “Control System Synthesis by Rott Locus Method”, sulla rivista ieeexplore.com.

Questo è un metodo per studiare nel piano complesso, l’effetto della reazione negativa sui poli del sistema in catena chiusa, a partire dalla conoscenza della Funzione di Trasferimento in catena aperta $G(s)$ (dove $G(s)$ è la fdt del sistema da controllare).
Noi tratteremo controllori proporzionali, con quindi $C(s)=k$.

Calcolando la funzione di trasferimento in anello aperto otteniamo:

$$K\cdot G(s)=K\cdot \frac{{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{i=1}^n(s-p_i)}=K\cdot \frac{n(s)}{d(s)}$$

In anello chiuso otteniamo invece:

$$W(s)=\frac{K\cdot G(s)}{1+K\cdot G(s)}=\frac{K\cdot n(s)}{d(s)+K\cdot n(s)}$$

Notiamo quindi che gli zeri del sistema non cambiano passando da anello aperto a chiuso, cambiano invece i poli.

Chiamiamo quindi $d(s)+K\cdot n(s)=0\to \frac{n(s)}{d(s)}=-\frac{1}{K}$ equazione caratteristica e chiamiamo invece Luogo delle Radici l’insieme delle radici dell’equazione caratteristica al variare di $K$.

Definiamo la seguente Condizione di Fase:

$$\{\begin{array}{ll}\angle n(s)-\angle d(s)=\pi \pm 2h\pi & k>0\\ \angle n(s)-\angle d(s)=0\pm 2h\pi & k<0\end{array}$$

e definiamo la seguente Condizione di Modulo:

$$\left|\frac{n(s)}{d(s)}\right|=\frac{1}{|K|}$$

Utilizzo

Una volta trovato il polo che vogliamo ottenere, in base alle specifiche, per trovare il relativo valore di $K$ applichiamo la seguente formula:

$$K{|}_{s=s_i}=\frac{|d(s_i)|}{|n(s_i)|}$$

Sistemi di Secondo Grado: relazione tra frequenza naturale e smorzamento e luogo delle radici

Data una Funzione di Trasferimento $G(s)=\frac{w_n^2}{s^2+2\xi w_{n}s+w_n^2}$, con i poli $s_{1,2}=-\xi w_n\pm w_{n}j\sqrt{1-{\xi }^2}$, il seguente grafico rappresenta la posizione dei poli in relazione allo smorzamento $\xi$ e alla frequenza naturale $w_n$:

• se $\xi =1$ abbiamo smorzamento perfetto, senza oscillazioni
• se $\xi <1$ abbiamo un sistema oscillante
• se $\xi >1$ abbiamo un sistema sovrasmorzato, con quindi una risposta lenta.

Regole di Costruzione del Luogo delle Radici

Regola 1

Il numero di radici in catena chiusa è uguale al numero di poli della funzione in ciclo aperto, che è uguale al numero di Rami del luogo delle Radici.

Regola 2

Il luogo delle radici parte dai poli in ciclo aperto e arriva sugli zeri in ciclo aperto al finito o all’infinito.

Regola 3

Tutto l’asse reale appartiene al luogo delle radici.

Regola 4

Se $K>0$ appartengono al luogo delle radici tutti i punti che lasciano alla propria destra un numero dispari di singolarità.

Regola 5

Se $K<0$ appartengono al luogo delle radici tutti i punti che lasciano alla propria destra un numero pari di singolarità.

Regola 6

Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale.

Regola 7

Il luogo delle radici ha rami che non si sovrappongono mai, al massimo si incrociano in punti singolari detti poli multipli.

Regola 8

Gli asintoti dividono il piano complesso in parti equiangole e simmetriche rispetto all’asse reale.

Regola 9

Il centro degli asintoti è il baricentro delle singolarità e si calcola come segue:

$$\sigma =\frac{{\sum }^n{p}_i-{\sum }^m{z}_i}{n-m}$$

Regola 10

L’angolo di partenza di un dato polo è la somma degli angoli del polo rispetto agli altri poli.

Poli Multipli

In un punto multiplo la radice multipla $s_i$ è soluzione di: $\frac{d^{\prime }(s)}{d(s)}=\frac{n^{\prime }(s)}{n(s)}$, e nel caso di $m$ zeri e $n$ poli si verifica che:

$$\sum _{i=1}^n\frac{1}{s-p_i}=\sum _{i=1}^m\frac{1}{s-z_i}$$

Risolvendo questa equazione quindi otteniamo i poli multipli.