Sistemi del Primo Ordine con Laplace

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Supponiamo di aver risolto un sistema fisico, otteniamo quindi una equazione differenziale del primo ordine, con condizioni iniziali nulle:

$$a_1\frac{dy}{dt}+a_{0}y=b_{0}u,y(0)=0$$

Utilizziamo la Trasformata di Laplace per risolverla e quindi trasformiamo:

$$a_1\cdot s\cdot Y(s)+a_0\cdot Y(s)=b\cdot U(s)$$

e calcoliamo la Funzione di Trasferimento:

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b}{a_o+a_1\cdot s}$$

Calcoliamo la risposta al gradino ($U(s)=\frac{1}{s}$) di questa funzione:

$$y(t)=L^{-1}\{\frac{1}{s}G(s)\}=L^{-1}\left\{\frac{b_0/a_1}{s^2+s\cdot a_0/a_1}\right\}$$

Questa è la Forma di Evans, ovvero portiamo il denominatore ad essere monadico.

Date le condizioni iniziali sappiamo che $y(0)=0$, per quanto riguarda il valore a regime possiamo applicare il teorema del valore finale ed otteniamo ${\lim }_{t\to \infty }y(t)=\frac{b_0}{a_0}$.

Per calcolare il transitorio dobbiamo invece risolvere $y(t)$:

$$\begin{array}{c}Y(s)=\frac{b_0/a_1}{s^2+s\cdot a_0/a_1}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+a_0/a_1}\\ A=...=\frac{b_0}{a_0}=G(0)\\ B=...=\frac{-b_0}{a_0}=-G(0)\\ y(t)=\frac{b_0}{a_0}(1-e^{-\frac{a_0}{a_1}t})\cdot 1(t)=G(0)\cdot (1-e^{-\frac{t}{T}})\cdot 1(t)\end{array}$$

Curva della funzione per $T=1$, notiamo il valore per $y(T)=0,63\cdot G(0)$:

Definiamo il tempo di assestamento al valore $i\%$: il tempo che un sistema dinamico impiega per raggiungere (e poi mantenere) un valore in una fascia di $\pm i\%$ intorno al valore di regime (il guadagno statico $G_0$).

Caso in cui compare anche la derivata dell’ingresso

$$a_1\frac{dy}{dt}+a_{0}y=b_1\frac{du}{dt}+b_{0}u,y(0)=0$$

con Funzione di Trasferimento:

$$\begin{array}{c}G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_0+b_1\cdot s}{a_o+a_1\cdot s}\\ \text{Forma di Bode}\text{ (mette in evidenza le costanti di tempo)}:\\ G(S)=\frac{b_0}{a_0}\cdot \frac{1+s\cdot \frac{b_1}{b_0}}{1+s\cdot \frac{a_1}{a_0}}=G(0)\cdot \frac{1+s\cdot {\tau }_z}{1+s\cdot \tau }\\ \text{ Forma di Evans}\text{ (evidenzia le singolaritaˋ dinamica del sistema, ovvero poli e zeri)}:\\ G(S)=\frac{b_1}{a_1}\frac{s+\frac{b_0}{b_1}}{s+\frac{a_0}{a_1}}\end{array}$$