Criterio di Stabilità di Routh

uni
Questo criterio è applicabile su sistemi LTI e SISO.

Data una generica equazione caratteristica:

$$a_n\cdot s^n+a_{n-1}\cdot s^{n-1}+...+a_1\cdot s^1+a_0=0$$

• con $a_n>0$ (basta cambiare di segno)
• senza ritardi di tempo $e^{-\pi \tau }$, in caso contrario approssimiamo a polinomio: $\frac{1-\frac{\tau }{2}s}{1+\frac{\tau }{2}s}$

Il sistema associato è stabile se tutti gli $n+1$ elementi della prima colonna della tabella di Routh hanno lo stesso segno.

Per $n\le 2$ questo si riduce alla regola di cartesio: gli tutti gli $n+1$ coefficienti $a_i$ hanno lo stesso segno.

Tabella di Routh

$$\begin{array}{ccccc}n& a_n& a_{n-2}& a_{n-4}& ...\\ n-1& a_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}& ...\\ n-2& {\gamma }_{3,1}& {\gamma }_{3,2}& {\gamma }_{3,3}& ...\\ n-3& {\gamma }_{4,1}& {\gamma }_{4,2}& ...& \\ ...& ...& ...& & \\ 0& {\gamma }_{n+1,1}& & & \end{array}$$

con:

$${\gamma }_{i,j}=\frac{-\left|\begin{array}{cc}{\gamma }_{i-2,1}& {\gamma }_{i-2,j+1}\\ {\gamma }_{i-1,1}& {\gamma }_{i-1,j+1}\end{array}\right|}{{\gamma }_{i-1,1}}$$

Teoremi Formali

Primo Teorema di Routh:
Condizione necessaria e sufficiente perché tutte le radici dell’equazione caratteristica abbiano parte reale negativa è che tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Routh siano positivi e non zero.

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Secondo Teorema di Routh:
Se qualche elemento della prima colonna della tabella di Routh è negativo, il numero di radici con parte reale positiva è uguale al numero di cambi di segno dei coefficienti della prima colonna.

Casi singolari

Termine Pivot Nullo

Quando otteniamo un termine pivot nullo abbiamo due possibilità: trasliamo la relativa riga a sinistra oppure inseriamo al posto dello zero un $epsilon$, un numero quasi zero (a fine calcoli per determinare il segno facciamo il limite di $epsilon$ che tende a $0^{+}$).

Riga di soli zeri

Se ottengo una riga di soli zeri sicuramente il sistema non è asintoticamente stabile, con i metodi che seguono possiamo verificare che sia stabile marginalmente o instabile.

Solo i casi di simmetria quadrantale portano a righe di tutti zeri. <<<<<<<<<<<<

Metodo dell’equazione ausiliaria

1. Considero la riga precedente
2. costruisco la sua equazione (prendo solo esponenti pari o dispari a seconda del grado della riga)
3. ne trovo le radici, queste sono le radici del sistema sulle quali la tabella non mi ha dato informazioni
   Se trovo radici complesse il sistema oscilla ad una pulsazione $w$ pari alla parte immaginaria della radice.

Metodo della derivata

1. Scrivo l’equazione ausiliaria $q(s)$ della riga precedente
2. derivo $q(s)$ in $s$
3. sostituisco il polinomio ottenuto nella riga di soli zeri