Proprietà Strutturali

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Le 3 proprietà strutturali di un sistema sono: la stabilità, la raggiungibilità e l’osservabilità, e sono determinate dalle matrici di struttura del sistema.

Stabilità

Questa proprietà dipende unicamente dal movimento libero del sistema ¹, che possiamo comunque evitare di calcolare (Stabilità secondo Lyapunov).
Dipende solamente dalla matrice $A$.

Il movimento $\tilde{x}$ è stabile se $\forall ϵ>0,\exists \delta >0:\forall {\delta }_{x_0}\text{ per cui }||{\delta }_{x_0}||\le 0\text{ risulti }||{\delta }_x(t)||\le ϵ,t\ge 0$

$\tilde{x}$ è asintoticamente stabile se inoltre ${\lim }_{t\to \infty }||{\delta }_x(t)||=0$

Teorema: un movimento (o uno stato di equilibrio) di un sistema lineare stazionario è stabile, asintoticamente stabile o instabile se e solo se tutti i movimenti (o gli stati di equilibrio) del sistema sono rispettivamente stabili, asintoticamente stabili o instabili.

Teorema: Un sistema lineare stazionario:

• è stabile se e solo se tutti i movimenti liberi dello stato sono limitati;
• è asintoticamente stabile se e solo se tutti i movimenti liberi dello stato tendono a zero per $t\to \infty$;
• è instabile se e solo se almeno un movimento libero dello stato non è limitato.

Stabilità e Autovalori

Teorema: un sistema LTI è asintoticamente stabile se e solo se tutti i suoi autovalori hanno parte reale negativa.

Teorema: un sistema LTI è instabile se almeno uno dei suoi autovalori ha parte reale positiva.

I punti nel Piano di Gauss con coordinata Reale minore di zero prendono il nome di regione asintoticamente stabile.

Se $Re(\lambda )\le 0\forall \lambda$ (la parte reale di almeno un autovalore è nulla) allora il sistema sicuramente non è asintoticamente stabile, può comunque essere stabile o instabile.
È instabile se e solo se tra i ${\lambda }_i\text{ con }Re({\lambda }_i)=0$, ne esiste almeno uno cui corrisponda un miniblocco di Jordan di dimensione maggiore di uno, poiché in questo caso nel movimento libero comparrebbe un modo del tipo $t^k$ eventualmente moltiplicato per un seno, con $k>0$, che tende a più infinito per $t\to \infty$.

Se non vi sono autovalori multipli sull’asse immaginario (un solo $Re(\lambda )=0$) allora il sistema risulta stabile se e solo tutti i suoi autovalori hanno parte reale negativa o nulla.

Tabella Riepilogativa

stabilità	Modi	Autovalori
Asintotica	tendono a $0$	$Re(\lambda )<0$
Marginale	limitati	$Re(\lambda )\le 0$ e per i $\lambda$ per cui $Re(\lambda )=0$, $q$ (dimensione del blocco di jordan relativo) $=1$, ovvero $mg=ma$

Raggiungibilità

Questa proprietà riguarda la possibilità di far assumere allo stato di un sistema dinamico un valore prefissato, agendo sull’ingresso, ed è legata alle matrici $A,B$.

Definizione: uno stato $\tilde{x}$ di un Sistema LTI si dice raggiungibile se $\exists \tilde{t}>0$ e $\tilde{u}$ (ingresso forzato), definito tra $0$ e $\tilde{t}$, tali che, detto $\widetilde{x_f(t)},0\le t\le \tilde{t}$ il movimento forzato dello stato generato da $\tilde{u}$ risulti ${\tilde{x}}_f(\widetilde{t)}=\tilde{x}$.

Un sistema con tutti gli stati raggiungibili si dice completamente raggiungibile.
Questa è una proprietà che dipende dalla risposta forzata.

Nei sistemi LTI la raggiungibilità coincide con la controllabilità.

In base a questa proprietà possiamo divide gli stati in:

• raggiungibili: $x_R$
• non raggiungibili: $x_{NR}$

Teorema: per verificare se un sistema è completamente raggiungibile calcoliamo la matrice di raggiungiblità $M_R=[BAB{A}^{2}B...A^{n-1}B]$ con $n$ ordine del sistema, condizione necessaria e sufficiente per la raggiungibilità è che $rank(M_R)=n$, ovvero la matrice di raggiungibilità abbia rango massimo.

Scomposizione

Se il sistema non è completamente raggiungibile scompongo e isolo la parte non raggiungibile:

1. costruisco la matrice di trasformazione $T_R$:
   1. scegliamo $n_r$ colonne linearmente indipendenti in $M_R$(ogni stato raggiungibile è combinazione lineare di queste colonne).
   2. ci aggiungo poi $n-n_r$ colonne linearmente indipendenti dalle precedenti.
2. Trasformo² ora il sistema tramite la matrice $T_R$
3. Ottengo una $\hat{A}$ che è sempre della forma: $\hat{A}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{A}}_a& {\hat{A}}_{ab}\\ 0& {\hat{A}}_b\end{array}\right]$ dove:
   • ${\hat{A}}_a$ è sempre raggiungibile
   • ${\hat{A}}_b$ è sempre non raggiungibile
   • ${\hat{A}}_{ab}$ rappresenta l’influenza degli stati non raggiungibili su quelli raggiungibili.

Se la parte non raggiungibile è asintoticamente stabile, si dice che il sistema è stabilizzabile.

Per un sistema completamente controllabile esiste sempre almeno un ingresso che permette di andare da un certo stato ad un altro, per ogni coppia di stati.

Osservabilità

Questa proprietà indica la possibilità di determinare il valore dello stato interno iniziale a partire dalla conoscenza della sua uscita, ed è legata alle matrici $A,C$.

Definizione: uno stato $\tilde{x}\ne 0$ di un Sistema LTI si dice non osservabile se, qualunque sia $\tilde{t}>0$ finito, detto ${\tilde{y}}_l(t),t\ge 0$, il movimento libero generato da $\tilde{x}$, risulta ${\tilde{y}}_l(t)=0,0\le t\le \tilde{t}$.
Un sistema privo di stati non osservabili si dice completamente osservabile.

L’osservabilità è legata alla risposta libera e all’equazione di uscita.

Teorema: condizione necessaria e sufficiente è che la matrice di osservabilità abbia rango massimo:

$$rank\left(\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ .\\ .\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]\right)=n$$

Anche questa proprietà divide gli stati in due insiemi:

• stati osservabili: $x_O$
• stati non osservabili: $x_{NO}$

Scomposizione

Posso isolare la parte non osservabile:

1. costruisco la matrice $T_O$:
   1. seleziono $n-n_o$ vettori ${\xi }_i$ linearmente indipendenti, tali che $M_O{\xi }_i=0\text{ ovvero }span({\xi }_i)=x_{NO}$, quindi compongo una base del kernel di $M_O$. Sono non osservabili tutti e solo i vettori ottenibili come combinazione lineare dei vettori ${\xi }_i$.
   2. seleziono $n_o$ vettori linearmente indipendenti per completare la matrice, tali che: $det(T_o^{-1})\ne 0$ e quindi la matrice risulti invertibile.
2. eseguo un cambio di variabile² attraverso la matrice di trasformazione $T_O$.
3. ottengo una matrice $\hat{A}$ sempre della forma: $\hat{A}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{A}}_a& 0\\ {\hat{A}}_{ab}& {\hat{A}}_b\end{array}\right]$ e $\hat{C}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{C}}_a& 0\end{array}\right]$ con ${\hat{A}}_a$ parte osservabile e ${\hat{A}}_b$ parte non osservabile.
   Ed infine vale: $aut(\hat{A})=aut(A)=aut({\hat{A}}_a)+aut({\hat{A}}_b)$

Forma Canonica

È possibile dimostrare che si può portare ogni sistema in una forma che evidenzia le parti osservabili e raggiungibili, che prende il nome di forma canonica.
La matrice di trasformazione $T_K$ utilizzata in questo procedimento prende il nome dall’ingegnere Ungherese Kalman.
Si ottiene:

$$\begin{array}{cccc}\hat{x}=\left[\begin{array}{c}{\hat{x}}_a\\ {\hat{x}}_b\\ {\hat{x}}_c\\ {\hat{x}}_d\end{array}\right]& \hat{A}=\left[\begin{array}{cccc}{\hat{A}}_a& {\hat{A}}_{ab}& {\hat{A}}_{ac}& {\hat{A}}_{ad}\\ 0& {\hat{A}}_b& 0& {\hat{A}}_{bd}\\ 0& 0& {\hat{A}}_c& {\hat{A}}_{cd}\\ 0& 0& 0& {\hat{A}}_d\end{array}\right]& \hat{B}=\left[\begin{array}{c}{\hat{B}}_a\\ {\hat{B}}_b\\ 0\\ 0\end{array}\right]& \hat{C}=\left[\begin{array}{cccc}0& {\hat{C}}_b& 0& {\hat{C}}_d\end{array}\right]\end{array}$$

dove gli elementi non nulli di $\hat{B}$ sono le parti raggiungibili, quelli non nulli di $\hat{C}$ sono le parti osservabili.
Troviamo quindi:

• ${\hat{x}}_a$: raggiungibile e non osservabile
• ${\hat{x}}_b$: raggiungibile e osservabile
• ${\hat{x}}_c$: non raggiungibile e non osservabile
• ${\hat{x}}_d$: non raggiungibile e osservabile

Forma Minima

Un sistema completamente osservabile e raggiungibile è detto in forma minima.

Questo in quanto non è possibile usare un numero di variabili di stato minore del suo ordine per descrivere la relazione ingresso-uscita.

Le parti non raggiungibili e/o non osservabili sono inutili ai fini dello studio del movimento forzato.

Ispezione diretta

Affrontiamo ora due metodi per velocizzare lo studio della raggiungibilità osservabilità di un sistema.

Ispezione diretta per la raggiungibilità

Lemma PBH (Popov, Belevitch, Hautus): un Sistema LTI è completamente raggiungibile se e solo se:

$$rank[(\lambda \cdot Id-A)|B]=n,\forall \lambda \in C$$

Potrebbe sembrare necessario analizzare questa condizione per ogni valore complesso, ma se $\lambda$ non è una autovalore di $A$ allora la condizione è sempre verificata, poiché $det(\lambda \cdot Id-A)\ne 0⟹rank(\lambda \cdot Id-A)=n$, per la definizione di autovalore ($det(\lambda \cdot Id-A)=0$).
Devo quindi solo verificare il lemma per ogni autovalore di $A$.

La dimostrazione è sugli appunti del giorno 12/03/2025 e viene fatto per assurdo

Un sistema con $\mu$ miniblocchi associati a ${\lambda }_i$ può essere raggiungibile solo se ha almeno $\mu$ ingressi (per arrivare ad ottenere $n$ colonne linearmente indipendenti).

Ispezione diretta per l’osservabilità

Lemma PBH: un sistema LTI è completamente osservabile se e solo se:

$$rank\left[\begin{array}{c}\lambda \cdot Id-A\\ C\end{array}\right]=n,\forall \lambda \in C$$

Anche in questo caso basta analizzare i soli autovalori di $A$.

Tutte le colonne $C_{i,1}$ dei corrispondenti blocchi di Jordan devono essere linearmente indipendenti.

Footnotes

1. Formula di Lagrange ↩

2. Trasformazioni Equivalenti ↩ ↩²