Esperimento Aleatorio Composto

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Consideriamo due diversi esperimenti aleatori caratterizzati da spazi campione diversi.
Indichiamo con $A_1$ il generico evento del primo esperimento e con $A_2$ il generico evento del secondo.
Indichiamo le funzioni di probabilità: $P_1()$ e $P_2()$.

È possibile definire un esperimento composto con:

• risultati: coppia ordinata dei risultati degli esperimenti componenti
• spazio campione: prodotto cartesiano degli spazi campioni dei componenti: $\Omega ={\Omega }_1\times {\Omega }_2$
• eventi: tutti i sottoinsiemi di $\Omega$ del tipo $A=A_1\times A_2$

Calcoliamo la probabilità dell’evento $A=A_1\times A_2$, sapendo $P_1(A_1)$ e $P_2(A_2)$.
Questo problema non ha in generale una soluzione: dalla conoscenza delle leggi di probabilità dei singoli esperimenti non è possibile ricavare la legge di probabilità dell’esperimento congiunto.
Eccezione fatta per il caso di esperimenti indipendenti: se il risultato del primo esperimento non influenza il risultato dell’altro.

Composizione di esperimenti indipendenti

• Spazio campione composto: $\Omega ={\Omega }_1\times \Omega 2$
• eventi: tutti i sottoinsiemi di $\Omega$ del tipo $A=A_1\times A_2$, formati dalle coppie $(\xi ,\lambda )$, tali che $\xi \in A_1$ e $\lambda \in A_2$
• Funzione di probabilità $P(\cdot )$

Osserviamo che $P(A\times {\Omega }_2)=P_1(A_1)$ e $P(A\times {\Omega }_1)=P_2(A_2)$.

$$\begin{array}{c}A=A_1\times A_2=(A_1\times {\Omega }_2)\cap ({\Omega }_1\times A_2)\\ P(A)=P(A_1\times A_2)=P((A_1\times {\Omega }_2)\cap ({\Omega }_1\times A_2))=P(A_1\times {\Omega }_2)\cdot P({\Omega }_1\times A_2)=P_1(A_1)\cdot P_2(A_2)\end{array}$$

Ovvero la condizione di indipendenza tra due esperimenti equivale ad assumere indipendenti tutti gli eventi del tipo $(A_1\times {\Omega }_2)$ e $({\Omega }_1\times A_2)$ definiti nello spazio campione $\Omega$ dell’esperimento composto.

Prove ripetute binarie e indipendenti

Consideriamo un esperimento con uno spazio campione $\Omega =\{A,\overline{A}\}$ costituito da due risultati soltanto: $P(A)=p;P(\overline{A})=1-p=q$.

Consideriamo poi l’esperimento composto ottenuto ripetendo N volte lo stesso esperimento e facendo in modo che ciascuna prova sia indipendente dalle altre:
Calcolare la probabilità $P(E)=P(\text{A si verifica k volte in un ordine qualsiasi})$.

• $E=E_1\cup E_2\cup ...\cup E_R$ ($E_i$ eventi disgiunti)
• $R$ = numero di sequenze distinte che contengono $k$ eventi $A$

$$E_1=\underset{k}{\underbrace{A\times A\times ...\times A}}\times \underset{N-k}{\underbrace{\overline{A}\times \overline{A}\times ...\times \overline{A}}}$$