Modello di Drude

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Il modello di Drude è un modello classico che descrive il comportamento elettrico e termico dei metalli trattando gli elettroni di conduzione come un gas di particelle libere che si muovono all’interno del reticolo ionico.

È uno dei primi tentativi teorici di spiegare:

• la conduzione elettrica
• la conduzione termica
• la legge di Ohm su base microscopica

Sebbene fondandosi su alcune assunzioni errate, ha portato ad una formula per il calcolo della conducibilità quasi corretta.

Ipotesi fondamentali

Il modello si basa sulle seguenti assunzioni:

• gli elettroni sono particelle classiche
• gli ioni del reticolo sono fissi
• gli elettroni subiscono urti casuali con:
  • ioni
  • impurità
  • difetti del reticolo
• tra due urti consecutivi, l’elettrone si muove di moto rettilineo uniforme
• il tempo medio tra due urti è costante (tempo di rilassamento τ)

Moto degli elettroni senza campo elettrico

In assenza di campo elettrico a temperatura maggiore dello zero assoluto:

• il moto degli elettroni è caotico, è puro moto Browniano
• la velocità media è zero
• non c’è corrente macroscopica, ovvero non vi è Corrente di Deriva

Moto degli elettroni con campo elettrico

Applicando un campo elettrico $E$ ogni elettrone subisce una forza $F=-qE$, con $q$ = modulo della carica (dell’elettrone), quindi accelera tra un urto e l’altro e si instaura una velocità media detta velocità di deriva $v_d$.

$$\vec{\overline{v}}=v_{\text{drift}}=-{\mu }_n\cdot \vec{E}$$

con ${\mu }_n$ mobilità degli elettroni, misurata in $\left[\frac{m^2}{V\cdot s}\right]$.

Nota che questo vale solo con valori di $\vec{E}$ contenuti, in caso contrario $v_{\text{deriva}}$ satura ad un certo valore.

$$\begin{array}{c}N:\text{numero totale di elettroni}\\ \Delta T:\text{tempo di osservazione:}\Delta T=\frac{L}{v_d}\\ I=\frac{\Delta Q}{\Delta T}=\frac{N\cdot q}{\Delta T}=\frac{N\cdot v_d}{L}\cdot q\\ \text{Densitaˋ di Corrente di Drift:}{J}_{\text{drift}}=\frac{N}{Vol}\cdot q\cdot v_d=n\cdot q\cdot {\mu }_n\cdot E\end{array}$$

Utilizziamo la legge microscopica di Ohm:

$$J_{\text{drift}}=\sigma \cdot E$$

e otteniamo:

$$\begin{array}{c}{\vec{J}}_{\text{drift}}=\sigma \cdot \vec{E}\\ \text{conducibilitaˋ:}\sigma =n\cdot q\cdot {\mu }_n\end{array}$$