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Definizione:
Dato un segnale $x(t)$ ad energia finita, si definisce TCF (Trasformata Continua di Fourier):

$$X(f)=\int x(t)e^{-j2\pi ft}dt$$

questa si chiama Equazione di Analisi poiché riesco a fare l’analisi delle componenti frequenziali del segnale.

Si definisce anti-trasformata continua di Fourier:

$$x(t)=\int X(f)e^{j2\pi ft}df$$

questa si chiama Equazioni di sintesi poiché attraverso la trasformata sintetizzo il segnale effettivo.

Ad ogni segnale $x(t)$ corrisponde una ed una sola $X(f)$ e viceversa:

$$x(t)⟺X(f)$$

Vale per segnali reali e complessi (ovviamente i segnali fisici sono reali).

Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier

$$\begin{array}{cc}\text{Equazione di Analisi:}& X(f)=\int x(t)e^{-j2\pi ft}dt\\ \text{Equazione di Sintesi:}& x(t)=\int X(f)e^{j2\pi ft}df\\ \text{Univocitaˋ:}& x(t)⟺X(f)\end{array}$$

Spettro di Ampiezza e di fase

La funzione complessa $X(f)$ può essere scomposta:

$$X(f)=|X(f)|e^{j\angle X(f)}$$

dove:

• $|X(f)|$ è lo Spettro di ampiezza
• $\angle X(f)$ è lo Spettro di fase
  Queste sono ampiezza e fase delle componenti frequenziali in cui il segnale è scomposto.

Simmetria degli spettri per segnali reali (fisici)

Dato un segnale $x(t)\in R$:

$$\begin{array}{c}|X(-f)|=|X(f)|\text{Spettro di ampiezza: simmetria pari}\\ \angle X(-f)=-\angle X(f)\text{Spettro di fase: simmetria dispari}\\ \text{ovvero:}X(-f)=X^{\ast }(f)\text{Simmetria Hermitiana}\end{array}$$

Questa simmetria non è soddisfatta da segnali complessi $x(t)\in C$

Teorema di Parseval

L’energia di un segnale nel tempo è uguale all’energia in frequenza:

Teorema di Parseval

$$E_x=\int |x(t){|}^{2}dt=\int |X(f){|}^{2}df$$

densità spettrale di energia: ${\mathcal{E}}_x(f)=|\mathcal{X}(f){|}^2$

Questo teorema vale sia per segnali Reali che complessi.

Densità spettrale di potenza

Per i segnali a potenza media finita si ha che:

$$\begin{array}{c}{P}_x={\lim }_{T\to \infty }\frac{E_{x_T}}{T}={\lim }_{T\to \infty }\int \frac{|X(f){|}^2}{T}df=\int \lim \frac{|X(f){|}^2}{T}df=\\ P_x=\int {\mathcal{P}}_x(f)df\end{array}$$

dove ${\mathcal{P}}_x(f)$ è la densità spettrale di energia.

Spectrum Analyzer

I dispositivi che prendono in ingresso un segnale e restituiscono l’ampiezza e la fase del segnale si chiamano spectrum analyzer.

Questi dispositivi utilizzano l’algoritmo fast fourier transform (FFT).

Relazione tempo-banda

• Un segnale di breve durata nel tempo ha uno spettro largo in frequenza.
• Un segnale con spettro stretto in frequenza ha una lunga durata nel tempo.

Legame durata nel tempo - durate in frequenza:

$${\Delta }_t{\Delta }_f\approx \text{costante}$$

extra

• segnali che cambiano velocemente hanno componenti frequenziali più significative
• Le componenti frequenziali elevate sono responsabili dei cambiamenti più rapidi.

Teoremi della trasformata di Fourier

Linearità

$$x(t)=a{x}_1(t)+b{x}_2(t)⟺X(f)=a{X}_1(f)+b{X}_2(f)$$

Dualità

$$x(t)⟺X(f)\leftrightarrow X(t)⟺x(-f)$$

Se inverto le forme d’onda

Teorema del Ritardo

$$\begin{array}{c}y(t)=x(t-t_0)⟺Y(f)=X(f)e^{-j2\pi f{t}_0}\\ \to |Y(f)|=|X(f)|\\ \to \angle Y(f)=\angle X(f)-2\pi f{t}_0\end{array}$$

Un ritardo temporale:

• modifica lo spettro di fase: introduce una fase che cresce linearmente con la frequenza
• non cambia lo spettro di ampiezza

Teorema della Modulazione

$$x(t)\cos (2\pi f_{o}t)⟺\frac{X(f-f_0)+X(f+f_0)}{2}$$

Trasformate Notevoli

Nome	tempo	frequenza
f. esponenziale monolatera	$x(t)=e^{-t/T}u(t)$	$X(t)=\frac{T}{1+2j\pi fT}$
funzione rettangolare	$x(t)=\text{rect}\left(\frac{1}{T}\right)$	$X(t)=T\text{sinc}(fT)$
f. Seno Cardinale	$x(t)=\text{sinc}(2Bt)$	$\frac{1}{2B}\text{rect}(\frac{f}{2B})$
note:

• seno cardinale: $\text{sinc}(\alpha )=\frac{\sin (\pi \alpha )}{\pi \alpha }\forall \alpha \ne 0,\text{sinc}(0)=1$