Variabili Aleatorie

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Dato un esperimento aleatorio con:

• spazio campione $\Omega$
• classe degli eventi $S$
• legge di probabilità $P(\cdot )$

Definiamo una corrispondenza $X(\omega )$, che associa a ciascun risultato $w$ dell’esperimento un unico numero reale.

Questa corrispondenza è detta variabile aleatoria se l’insieme di risultati per i quali $X(\omega )\le a$ è un evento.
Posso dunque assegnare al generico evento del tipo $\{X(\omega )\le a\}$ una probabilità $P(\cdot )$.

Funzione di distribuzione

Si indica con funzione di distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria $X$, la funzione:

$$F_X(x)\triangleq P(\{X\le x\})$$

La definizione di variabile aleatoria assicura l’esistenza della funzione di distribuzione $F_X(x)$ per ogni $x\in \mathbb{R}$.

Le variabili aleatorie sono indicate con la lettera maiuscola, invece con la lettera minuscola si indica un valore reale generico ma fissato che identifica l’evento $\{X\le x\}$ di cui calcola la probabilità.

Proprietà della funzione di distribuzione

Le proprietà della funzione di distribuzione:

$$\begin{array}{ccc}\text{I.}& :& 0\le F_X(x)\le 1\\ \text{II.}& :& {\lim }_{x\to -\infty }{F}_X(x)=P(\{X\le -\infty \})=0\\ & & {\lim }_{x\to +\infty }{F}_X(x)=P(\{X\le +\infty \})=1\\ & & \text{poicheˊ}:\{X\le -\infty \}=0\text{ e }\{X\le +\infty \}=\mathbb{R}\\ \text{III.}& :& F_X(x)\text{ eˋ monotona non decrescente}\\ \text{IV.}& :& P(x_1<X\le )=F_X(x_2)-F_X(x_1)\\ \text{V.}& :& F_X(x^{+})={\lim }_{h\to 0^{+}}{F}_X(x+h)=F_X(x)\\ & & \text{la funzione di distribuzione eˋ continua da destra}\\ \text{VI.}& :& P(\{X=\overline{x}\})=F_X({\overline{x}}^{+})-F_X({\overline{x}}^{-})\\ & & \text{Se la funzione di distribuzione presenta una discontinuitaˋ di 1 specie }\end{array}$$

Queste probabilità mostrano che dalla conoscenza di $F_X(\cdot )$ è possibile determinare la probabilità di un qualunque evento $\{X\in I\}$ essendo $I$ un qualunque insieme reale ottenuto come somma di intervalli dell’asse reale.

Ovvero la conoscenza di $F_X(\cdot )$ rappresenta una descrizione statistica completa della variabile aleatoria $X$.

A volte ci possono essere descrizioni statistiche equivalenti ma più semplici:

• la funzione massa di probabilità, nel caso di VA discrete
• la funzione densità di probabilità, nel caso di VA continue

Variabili aleatorie discrete

Una VA si dice discreta se assume un numero finito o una infinità numerabile di valori distinti $x_1,x_2,..$.

Funzione massa di probabilità

Si indica con funzione massa di probabilità di una variabile aleatoria discreta $X$, la funzione:

$$p_X(x)=P(\{X=x\})$$

ed è diversa da zero solo in $x=x_1,x_2,...$.

Misura della massa di probabilità di VA discrete

Definizione di massa di probabilità come limite della frequenza relativa:

$$p_X(x_i)=P(\{X=x\})=\underset{N\to +\infty }{\lim }\frac{n(x_i)}{N}$$

1. ripetere $N$ volte l’esperimento
2. per ogni $x_i$ definiamo il numero di volte $n(x_i)$ che tale valore si è presentato
3. per ogni $x_i$ calcolare la frequenza di presentazione:

$${\hat{p}}_X(x_i)=\frac{n(x_i)}{N}$$

Variabile Aleatoria di Bernoulli

Una variabile aleatoria di Bernoulli è una variabile aleatoria che assume:

• il valore 1 con probabilità $p$
• il valore 0 con probabilità $1-p$
  E si scrive: $X\in Bernoulli(p)$.

Variabile Aleatoria Binomiale

Ripetiamo $N$ volte un esperimento aleatorio nel quale un certo evento $A$ (evento favorevole) si può presentare con probabilità $p$ in ciascuna prova (prove indipendenti), possiamo definire una variabile aleatoria $X$ il cui valore si identifica con il numero di volte in cui si verifica l’evento $A$ sul totale $N$ delle prove, questa variabile aleatoria è detta numero di successi, è di tipo discreto e può assumere i valori $x_k=0,1,2,...,N$ con massa di probabilità:

$$p_X(k)=P(\{X=k\})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)p^k(1-p{)}^{N-k},0<p<1,k=0,1,...,N$$

Una variabile aleatoria $X\in B(p,N)$ è detta binomiale se è discreta, definita per valori interi $0,1,2,...,N$ e con questa massa di probabilità, e indica la probabilità che un certo evento $A$ si presenti un certo ammontare di volte $k$ sul totale $N$.

Variabile aleatoria di Poisson

Questa variabile aleatoria assume valori diversi da zero per un valore illimitato numerabile di valori.

Una variabile aleatoria $X\in P(\Lambda )$ è detta di Poisson di parametro $\Lambda$ (con $\Lambda >0$) se è discreta definita per valori interi positivi ed ha la seguente massa di probabilità:

$$p_X(k)=P(\{X=k\})=\frac{{\Lambda }^k}{k!}{e}^{-\Lambda },k=0,1,2,...$$

Condizione di normalizzazione della massa di probabilità:

$$\sum _{k=0}^{+\infty }{p}_X(k)=e^{-\Lambda }\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{{\Lambda }^k}{k!}=e^{-\Lambda }{e}^{\Lambda }=1$$

• se $\Lambda <1$ allora $p_X(k)$ è massima in $k=0$
• se $\Lambda$ non è un intero ed è maggiore di 1, allora il massimo si ha per $k$ uguale alla parte intera di $\Lambda$
• se $\Lambda$ è un intero ed è maggiore di 1, allora si hanno due massimi per $k=\Lambda$ e $k=\Lambda -1$

Variabili aleatorie continue

Una variabile aleatoria si dice continua se può assumere una infinità (non numerabile) di valori, ognuno dei quali con probabilità nulla:

$$P(\{X=x\})=0,\forall x$$

La funzione di distribuzione è continua:

$$F_X(x^{+})=F(x^{-})$$

Ed è quindi indifferente includere o escludere gli estremi:

$$P(x_1<X<x_2)=F_X(x_2)-F_X(x_1)$$

Densità di probabilità ‘ddp’

Se $F_X(x)$ è derivabile, si definisce densità di probabilità (ddp) della variabile aleatoria $X$ la funzione:

$$f_X(x)=\frac{d{F}_X(x)}{dx}$$

dove:

• F distribuzione di probabilità
• f densità di probabilità

Se integro $f_X(x)$ da $-\infty$ a $+\infty$ ottengo $F_X(+\infty )-F_X(-\infty )=1-0=1$.

Se integro $f_X(x)$ da $-\infty$ a $\overline{x}$ ottengo $F_X(\overline{x})$

Proprietà della ddp

• $f_X(x)\ge 0$
• $F_X(x)={\int }_{-\infty }^x{f}_X(\alpha )d\alpha$
• ${\int }_{x_1}^{x_2}{f}_X(\alpha )d\alpha =F_X(x_2)-F_X(x_1)⟹P(X\in I)={\int }_I{f}_X(\alpha )d\alpha$
• ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(\alpha )d\alpha =F_X(\infty )-F_X(-\infty )=1$ : Proprietà di normalizzazione.
• ${\int }_{x_1}^{x_2}{f}_X(x)dx=P(x_1<X<x_2)$, se pongo $x_1=x,x_2=x+dx$: $f_X(x)dx=P(x<X\le x+dx)$ e quindi $f_X(x)=\frac{P(x<X\le x+dx)}{dx}$. Quindi la ddpp rappresenta la probabilità (al variare di x) che la variabile aleatoria $X$ assuma valori appartenenti all’intervallo infinitesimo $(x,x+d)$ diviso l’ampiezza infinitesima $dx$ dell’intervallo.

Misuriamo sperimentalmente la ddp di una VA passando alla frequenza relativa: se ripetiamo l’esperimento $N$ volte e contiamo il numero $\Delta n(x)$ di risultati per cui $x<X\le x+\Delta x$, si ottiene:

$$f_X(x)\Delta x\approx P(x<X\le x+\Delta x)\approx \frac{\Delta n(x)}{N}$$

e purché $\Delta x$ sia sufficientemente piccolo e $N$ sufficientemente grande, la ddp si può ottenere come segue:

$$f_X(x)\approx \frac{\Delta n(x)}{N\Delta x}$$

Variabile Aleatoria uniforme

Una variabile aleatoria $X\in U(a,b)$ è detta uniforme nell’intervallo (a,b) se la sua ddp è costante in quell’intervallo:

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& \text{per }a\le x\le b\\ 0& \text{altrove}\end{array}\text{e}{F}_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{per }x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& \text{per }a\le x\le b\\ 1& \text{per }x>b\end{array}$$