Eventi Indipendenti

uni
Supponiamo che il verificarsi dell’evento A non fornisca alcuna informazione sull’evento B, ovvero $P[B|A]=P[B]$.
Dal Teorema di Bayes abbiamo che: $P[A|B]=P[A]$.
Quindi nessun evento ci da informazioni sull’altro evento.
Eventi che soddisfano questa condizione sono detti eventi indipendenti.
Da $P[A|B]=\frac{P[A\cap B]}{P[B]}$ ottengo:

$$\text{Due eventi si dicono indipendenti se:}P[A\cap B]=P[A]P[B]$$

Interpretazione frequentista:
dati:

• $P[B]=P[B|A]$
• $P[A]=P[A|B]$
• $P[A\cap B]=P[A]P[B]$
• sono indipendenti

$$\begin{array}{c}\frac{n_{A\cap B}}{n_A}\approx \frac{n_B}{N}\\ \frac{n_{B\cap A}}{n_B}\approx \frac{n_A}{N}\end{array}$$

Quindi frequenza di B nella sequenza di N ripetizioni dell’esperimento, approssima la frequenza di B nella sequenza di $n_A$ ripetizioni in cui si è presentato A.

Lo stesso vale per la frequenza di A.