Calcolo Combinatorio

uni

• Ho una procedura composta da $N$ passi.
• Ogni passo è svolgibile in $k_1,k_2,..$ modi diversi

Numero di modi in cui una procedura può essere fatta:

$$M=\prod _{i=1}^N{k}_i$$

• se però $k_i=k_j\forall i,j⟹M=k^N$.

Disposizioni

Una disposizione di $N$ oggetti presi $k$ a $k$ è una sequenza ordinata di $k$ oggetti scelti tra gli $N$ associati.

Numero di disposizioni semplici (no ripetizioni) di $N$ oggetti:

$$D_{N,k}=\frac{N!}{(N-k)!}$$

Permutazioni

Se parlando di disposizioni abbiamo $k=N$, si parla di permutazioni semplici:

$$P_N=N!$$

Combinazioni

Una combinazione semplice di $N$ oggetti presi $k$ a $k$ è una sequenza non ordinata di $k$ oggetti fra gli $N$ dati:

$$C_{N,k}=\frac{D_{N,}}{k!}=\frac{N!}{k!(N-k)!}=\left(\begin{array}{c}N\\ k\end{array}\right):\text{Coefficiente binomiale di N su k}$$

Formula di Bernoulli

Probabilità che l’evento $A$ (con $P(A)=p$) si verifichi $k$ volte in $N$ prove in un ordine qualsiasi:

$$P(E)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)p^k(1-p{)}^k=\frac{N!}{k!(N-k)!}{p}^k(1-p{)}^k$$