Resistività

uni
La resistenza di un oggetto viene calcolata come:

$$R=\frac{L}{S}\rho$$

con:

• $L$: lunghezza
• $S$: sezione
• $\rho$: resistività
  $L$ ed $S$ sono parametri geometrici.

La resistività invece è un parametro che dipende dal materiale di cui è composto l’oggetto:

$$\begin{array}{c}\text{Resistivitaˋ:}\rho [\Omega \cdot m]\\ \text{Conducibilitaˋ:}\sigma [\Omega \cdot m{]}^{-1}=\frac{1}{\rho }\end{array}$$

In base alla resistività (o conducibilità) possiamo distinguere i materiali in 3 categorie:

• Conduttori $10^{-2}<\rho$
• Isolanti $\rho >10^5$
• Semiconduttori: $10^{-2}<\rho <10^5$
  • ad esempio del Silicio può essere controllata la sua resistività attraverso il drogaggio (Drogaggio).

Conducibilità di un metallo

Utilizzando il Modello di Drude otteniamo che la conducibilità si calcola come:

$$\sigma =n\cdot q\cdot {\mu }_n$$

per un metallo abbiamo che:

• $n$ è circa $10^{21}{\text{cm}}^{-3}$
• ${\mu }_n$ è circa $500\frac{{\text{cm}}^2}{V\cdot s}$
• $q$ è il modulo della carica dell’elettrone e vale $1,6\cdot 10^{-19}C$

Otteniamo quindi:

$$\sigma \sim 8\times 10^4(\Omega \cdot \text{cm}{)}^{-1}=\frac{1}{\rho }$$

Conducibilità di un Semiconduttore

Il Silicio però non compie un legame metallico ma covalente, gli elettroni non possono spostarsi a causa della forza di legame, questo allo zero assoluto, a temperature maggiori invece alcuni legami si rompono.

Indichiamo con $n_i$ la concentrazione intrinseca (dove intrinseco indica materiale NON drogato), il numero di elettroni che si liberano da legami e sono quindi abili a condurre e vale:

$$n_i=B\cdot T^{3/2}\cdot e^{\frac{-E_G}{2\cdot K_B\cdot T}}$$

dove presenziano anche L’energia di legame, la costante di Bolzmann e $B$ dipende dal materiale.

Questa generazione di elettroni liberi prende il nome di generazione termica, che viene bilanciato in parte dal fenomeno di ricombinazione termica, fino ad un bilancio a regime pari a $n_i$.

La rottura di legame provoca le lacune (o vacanze), il campo elettrico provoca una catena di rottura e ricombinazione dei legami.
Consideriamo le lacune con carica inversa a quella di un elettrone, con la stessa massa dell’elettrone ma una mobilità ${\mu }_p$ (vedi Modello di Drude) inferiore a ${\mu }_n$.

Per la conducibilità otteniamo quindi:

$$\sigma =n_i\cdot {\mu }_n\cdot q+p\cdot {\mu }_p\cdot q$$

con $n=n_i=n_p$, rispettando la Legge di Azione di Massa.

Legame tra Conducibilità e Temperatura

Abbiamo detto che la conducibilità si trova come:

$$\sigma =nq{\mu }_n+pq{\mu }_p$$

dove:

• $q$ con varia con la temperatura $T$ ovviamente
• ${\mu }_n$ e ${\mu }_p$ invece: all’aumentare della temperatura aumentano le vibrazioni reticolari, causando più urti e di conseguenza diminuendo la mobilità proporzionalmente a $T^{\frac{3}{2}}$ ($T$ in Kelvin compresa tra $20$ e $600$ gradi)
• per $n$ e $p$ invece bisogna differenziare tra silicio intrinseco e drogato:
  • nel silicio intrinseco abbiamo $n=p=n_i$, che abbiamo detto ($n_i$) aumenta esponenzialmente con $T$. In definitiva nel silicio intrinseco la conducibilità aumenta con la temperatura
  • nel silicio drogato: prendiamo per esempio il drogaggio di tipo P: $p\approx N_A^{-}$ e $n\approx \frac{n_i^2}{N_A^{-}}$, quindi all’aumentare della temperatura $p$ resta fisso e $n_i$ aumenta, ma avendo $N_A^{-}\approx p>>n$, $n$ sale di poco ed in definitiva prevale la diminuzione della mobilità, diminuendo la conducibilità. Per il drogaggio tipo N vale il duale, $p$ sale poco e $n$ resta fisso, arrivando allo stesso effetto finale. Quindi nel silicio drogato la conducibilità diminuisce con la temperatura

Il variare della conducibilità al variare della temperatura viene utilizzato nei sensori di temperatura integrati.