Interpolazione

uni
Dati punti $x_0,x_1,...$ detti nodi, in cui sappiamo il valore di una determinata funzione, vogliamo trovare una approssimazione di questa funzione interpolando i dati.

Possiamo:

• trovare una funzione particolarmente facile che minimizzi la distanza dai nodi: questo approccio viene usato se abbiamo tanti nodi e si chiama regressione lineare: approssimazione ai minimi quadrati.
• cercare un polinomio di grado $k$ (se abbiamo $k$ nodi), che passi per tutti i nodi, questo approccio viene usato se abbiamo pochi nodi.

Interpolazione Polinomiale

Impostiamo il sistema:

$$\{\begin{array}{l}{a}_0+a_1{x}_0+...+a_k{x}_0^k=y_0\\ ...\\ a_0+a_1{x}_k+...+a_k{x}_k^k=y_k\end{array}$$

che in forma matriciale è:

$$\underset{V}{\underbrace{\left(\begin{array}{cccc}1& x_0& ...& x_0^k\\ ⋮& & & ⋮\\ 1& x_k& ...& x_k^k\end{array}\right)}}\underset{a}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ ⋮\\ a_k\end{array}\right)}}=\underset{y}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ ⋮\\ y_k\end{array}\right)}}$$

• dove $V$ è detta Matrice di Vandermonde

Quando questo sistema ha soluzione?

• non può avere $x_i=x_j\forall i\ne j$ altrimenti avrebbe due righe uguali e sarebbe singolare