Formulario Comunicazioni Numeriche

uni

Trasformata Continua di Fourier (TCF)

$$\begin{array}{cc}\text{Equazione di Analisi:}& X(f)=\int x(t)e^{-j2\pi ft}dt\\ \text{Equazione di Sintesi:}& x(t)=\int X(f)e^{-j2\pi ft}df\\ \text{Univocitaˋ:}& x(t)⟺X(f)\end{array}$$

Teorema di Parseval

$$E_x=\int |x(t){|}^{2}dt=\int |X(f){|}^{2}df$$

densità spettrale di energia: ${\mathcal{E}}_x(f)=|X(f){|}^2$

Densità Spettrale di Energia

$${\mathcal{E}}_x(f)=|X(f){|}^2$$

Densità Spettrale di Potenza

Per i segnali a potenza media finita si ha:

$$\genfrac{}{}{0ex}{}{P_x=\int {\mathcal{P}}_x(f)df}{{\mathcal{P}}_x(f)={\lim }_{T\to \infty }\frac{|X(f){|}^2}{T}}$$

Relazione tempo-banda

• Un segnale di breve durata nel tempo ha uno spettro largo in frequenza.
• Un segnale con spettro stretto in frequenza ha una lunga durata nel tempo.

Legame durata nel tempo - durate in frequenza:

$${\Delta }_t{\Delta }_f\approx \text{costante}$$

Teoremi della trasformata di Fourier

Linearità:

$$x(t)=a{x}_1(t)+b{x}_2(t)⟺X(f)=a{X}_1(f)+b{X}_2(f)$$

Dualità:

$$x(t)⟺X(f)\leftrightarrow X(t)⟺x(-f)$$

Teorema del Ritardo:

$$\begin{array}{c}y(t)=x(t-t_0)⟺Y(f)=X(f)e^{-j2\pi f{t}_0}\\ \to |Y(f)|=|X(f)|\\ \to \angle Y(f)=\angle X(f)-2\pi f{t}_0\end{array}$$

Un ritardo Temporale modifica lo spettro di fase introducendo un fase che cresce linearmente con la frequenza ma non cambia lo spettro di ampiezza.

Teorema della Modulazione

$$x(t)\cos (2\pi f_{o}t)⟺\frac{X(f-f_0)+X(f+f_0)}{2}$$

Lo spettro viene traslato di $f_0$ e dimezzato in ampiezza.
Ovvero lo spettro viene sdoppiato in due copie grandi la metà centrate una in $+f_0$ e una in $-f_0$.

Per la demodulazione:

1. Moltiplico il segnale nel tempo per $\cos (2\pi f_{0}t)$
2. Ottengo lo spettro originale al centro e due copie grandi un quarto centrate in $\pm 2f_0$
3. applico un filtro passa basso per filtrare le due copie non desiderate

Teorema del prodotto e della Convoluzione

$$\begin{array}{c}z(t)=x(t)\cdot y(t)\leftrightarrow Z(f)={\int }_{v=-\infty }^{\infty }X(v)Y(f-v)dv=X(f)\otimes Y(f)\\ \\ X(f)\cdot Y(f)⟺x(t)\otimes y(t)\\ \\ Z(f)=X(f)\cdot Y(f)\end{array}$$

Il supporto dell’integrale di convoluzione tra 2 funzioni con estensione limitata è data dalla somma delle due estensioni.

Calcolo della Banda a -3 dB

$$10{\log }_{10}\left(\frac{|X(B_{-3\text{dB}}){|}^2}{|X(f_0){|}^2}\right)=-3\text{dB}$$

La Banda a -3 dB è l’ampiezza dell’intervallo frequenziale in cui il modulo della trasformata del segnale non scende di oltre 3 dB rispetto al valore di riferimento in $f_0$ (normalmente $f_0=0\text{Hz}$).
Ovvero è l’ampiezza dell’intervallo frequenziale in cui il segnale in modulo non scende sotto metà del modulo nella frequenza portante.

Convenzione: la banda di un segnale modulato è doppia di quella del segnale non modulato.

Calcolo della Banda al 99% dell'Energia

$${\int }_{-B_{99}}^{B_{99}}|X(f){|}^{2}df=0.99E_x=0.99\int |X(f){|}^{2}df$$

Rapporto tra durata del segnale e Banda

Un segnale a durata finita non può avere una banda finita.
Se moltiplichiamo il segnale per una rect (simuliamo la finitezza nel tempo), vorrebbe dire convolure il segnale per una sinc, che ha supporto infinito, quindi il risultato ha banda illimitata.

TCF di segnali ad energia infinita

Per i segnali ad energia infinita (per esempio quelli periodici), non esiste la TCF.

Nota

Il valore della trasformata di un segnale nella sua frequenza portante è uguale all’integrale nel tempo del segnale:

$$X(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)dt$$

Funzione Delta di Dirac $\delta (t)$

$$\genfrac{}{}{0ex}{}{\delta (t)=\frac{du(t)}{dt}}{u(t)=\int \delta (t)dt}$$

La funzione delta di Dirac è invariante al prodotto di convoluzione.
La funzione delta di Dirac è Pari.

Proprietà Campionatrice

$$\int \delta (t-t_0)x(t)=x(t_0)$$

Sistemi Lineari Stazionari (SLS)

$$y(t)=x(t)\otimes h(t)=\int x(\beta )h(t-\beta )d\beta$$

Dove $h(t)$ è la risposta impulsiva del sistema:

$$h(t)=\mathcal{T}[\delta (\alpha ),t)]$$

ovvero l’uscita del sistema quando si applica in ingresso una delta di Dirac.

Risposta in frequenza di un SLS

Applichiamo il teorema della convoluzione:

$$y(t)=x(t)\otimes h(t)⟺Y(f)=X(f)H(f)$$

La TCF della risposta impulsiva si chiama Risposta in frequenza del sistema.

Teorema di Integrazione

Integrare nel tempo corrisponde a dividere per $2j\pi f$ nel dominio della frequenza:

$${\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau ⟺\frac{X(f)}{2j\pi f}$$

Teorema di Derivazione

Derivare nel tempo corrisponde a moltiplicare per $2j\pi f$ nel dominio della frequenza:

$$\frac{dx(t)}{dt}⟺2j\pi f\cdot X(f)$$

SLS in cascata e in parallelo

In cascata:

$$h(t)=h_1(t)\otimes h_2(t)⟺H(f)=H_1(f)\cdot H_2(f)$$

In Parallelo:

$$h(t)=h_1(t)+h_2(t)⟺H(f)=H_1(f)+H_2(f)$$

Filtri Non Distorcenti

Un filtro si dice non distorcente se vale:

$$y(t)=K\cdot x(t-t_0)⟺Y(f)K\cdot X(f)e^{-2j\pi f{t}_0}⟹H(f)=K\cdot e^{-2j\pi f{t}_0}$$

Ovvero il filtro ha risposta in ampiezza Piatta e risposta in fase Lineare.

In realtà è solo necessario che ciò valga nella Banda del segnale.

Trasformata Discreta Di Fourier (TDF)

$$\begin{array}{cc}\text{Equazione di Analisi:}& \overline{X}(f)={\sum }_{n}x(nT)e^{-j2\pi f\cdot nT}dt\\ \text{Equazione di Sintesi:}& x(nT)=T{\int }_{\frac{-1}{2T}}^{\frac{1}{2T}}\overline{X}(f)e^{-j2\pi f\cdot nT}df\\ \text{Univocitaˋ:}& x(nT)⟺\overline{X}(f)\end{array}$$

Si dimostra che:

$$\overline{X}(f)=f_c\sum _{k}X(f-k{f}_c)f_c=\frac{1}{T}$$

ovvero lo spettro si replica ai multipli della frequenza di campionamento, ovvero la TCF del segnale analogico viene periodicizzata.

Condizione di Nyquist

Dobbiamo scegliere una frequenza di campionamento tale da evitare l’aliasing (si sommano le bande di due repliche), ovvero:

$$f_c\ge f_N=2B$$

dove $f_N=2B$ è la frequenza minima di campionamento.

Segnali reali però hanno banda illimitata, poiché sono finiti nel tempo, dobbiamo allora introdurre un filtro anti-aliasing, che limita la banda a $B^{\prime }$, ottenendo una nuova condizione di Nyquist:

$$f_c\ge f_N=2B^{\prime }$$

Massima Frequenza Udibile dall'orecchio umano

La minima frequenza udibile dall’orecchio umano è circa $20$ Hz.
La massima frequenza udibile dall’orecchio umano è circa 20 KHz.
Frequenza di campionamento standard: $44.1$ kHz per CD, $48$ kHz per DVD.

Interpolazione

$$\hat{x}(t)=\sum _{n}x[n]\cdot p(t-nT)$$

Potremmo usare Interpolazione a mantenimento, usando come interpolatore la funzione $p(t)=\text{rect}(\frac{t-\frac{t}{2}}{T})⟺P(f)=T\cdot \text{sinc}(fT)e^{-j\pi fT}$, ma questo introduce distorsioni.

Usiamo invece l’interpolatore cardinale:

$$P(f)=T\text{rect}(fT)⟺p(t)=\text{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)$$

Notiamo che in frequenza, moltiplicando per una rect (con un adeguato $T$) filtriamo gli alias, mantenendo solamente la copia in banda base.

Theorem

Se $x(t)$ è limitato in banda e campionato con $f_c\ge 2B$, allora può essere ricostruito esattamente dai suoi campioni $x[n]$ tramite interpolazione cardinale.

$$\hat{x}(t)=\sum _{n}x[n]\text{sinc}\left(\frac{t-nT}{T}\right)=x(t)$$

Interpolazione cardinale reale

Quanto abbiamo visto nella pratica è irrealizzabile perché $p(t)=\text{sinc}(\frac{t}{T})$ è illimitato nel tempo → somma infinita di campioni.

Inoltre non è realizzabile in tempo reale perché l’interpolatore cardinale non è causale, ma questo non è un problema per esempio per la ricostruzione di un file salvato su disco, situazioni in cui ho tutti i campioni, passati e futuri.

Per evitare la somma infinita di campioni invece tronchiamo l’interpolatore cardinale:

$$\genfrac{}{}{0ex}{}{p_{\Delta }(t)=\text{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\text{rect}\left(\frac{t}{\Delta }\right)}{\hat{x}(t)={\sum }_{n}x[n]\cdot p_{\Delta }\left(t-nT\right)}$$

Dove la scelta di $\Delta$ è un compromesso tra complessità e accuratezza.

Infine per rendere la ricostruzione causale, dopo aver troncato l’interpolatore cardinale è necessario traslarlo nel tempo:

$$p_{\Delta }(t-\frac{\Delta }{2})$$

ottenendo:

$$\hat{x}(t)=\sum _{n}x[n]\cdot p_{\Delta }\left(t-nT-\frac{\Delta }{2}\right)$$

in modo che la risposta impulsiva sia nulla per $t<0$, rendendo l’interpolatore causale.

Teoria dei Codici

Variabili

$R$: rate di informazioni utili sul totale: $R=\frac{k}{n}$
$k$: bit in ingresso (per blocco)
$n$: bit di uscita (per parola)
$T_b$: tempo di bit in ingresso: ogni quanto arriva un nuovo bit in ingresso
$T_c$: tempo di bit in uscita

$$k\cdot T_b=n\cdot T_c$$

$R_b$: velocità di trasmissione di bit in ingresso $R_b=\frac{1}{T_b}$
$R_c$: velocità di trasmissione di bit in uscita: $R_c=\frac{1}{T_c}\ge R_b$
blocco: insieme di bit in ingresso
parola: insieme di bit in uscita

Codici a Ripetizione

Un codice a ripetizione usa blocchi di dimensione di un bit, e parole di dimensione di n bit, per un rate di $R=\frac{1}{n}$, con $n$ dispari.
Si esegue una decodifica a maggioranza.
Rivela fino a $n-1$ errori.
Corregge fino a $\frac{n-1}{2}$ errori.
La probabilità di sbagliare $t$ bit in una parola di $n$ bit è:

$$p(t,n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^t(1-p{)}^{n-t}$$

dove $p$ è la probabilità di errore su un bit.

La probabilità di errore della parola di codice è (con $p_{e,b}$ prob. errore su un bit):

$$P_{e,c}=\sum _{t=\frac{n+1}{2}}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{t}\right)p_{e,b}^t(1-p_{e,b}{)}^{n-t}\approx (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n+1}{2}})p_{e,b}^{\frac{n+1}{2}}$$

Codici a controllo di Parità

$R=\frac{k}{k+1}$, usano solo un bit di ridondanza, detto bit di parità. È un codice a blocchi, con blocchi di $k$ bit.
Il bit di parità è calcolato facendo la somma modulo 2 dei bit della stringa.
Rivela errori con numero di bit coinvolti dispari, quindi sbaglia solo se sbaglio almeno 2 bit.
La correzione avviene tramite ritrasmissione.

Codici a blocco lineari

Ogni parola è una combinazione lineare (con coefficienti gli elementi di $b$) delle righe di una matrice generatrice. Sono codici a blocchi di $k$ bit.
$b$: blocco in ingresso
$c$: parola in uscita
Un codice a blocco lineare è l’insieme delle $2^k$ parole $c=[c_1,c_2,...,c_n]$ generate dalla trasformazione lineare del blocco di bit $b$.

$${\text{c}}^{1\times n}={\text{b}}^{1\times k}{\text{G}}^{k\times n}=\sum _i^k{b}_i{g}_i$$

dove $\text{G}$ è la Matrice generatrice del codice.
i bit $b_i$ fungono da coefficienti ($0$ o $1$) che selezionano quali righe di $\mathbf{G}$ sommare modulo $2$.

Proprietà:

1. Ogni parola di codice è combinazione lineare delle righe di $\mathbf{G}$
2. Il codice è costituito da tutte le possibili combinazioni delle righe di $G$
3. La somma di due parole di codice è ancora una parola di codice
4. la n-pla di tutti zeri è sempre una parola di codice

Distanza di Hamming $d_H(c_1,c_2)$: è il numero di posizioni in cui le due parole differiscono tra loro. Equivale al rango della matrice di controllo di parità $H$.
Peso di Hamming $w(c)$: numero di posizioni in cui la parola differisce da 0.
Distanza Minima $d_{\min }={\min }_{i\ne j}{d}_H(c_i,c_j)={\min }_k{d}_H(c_k,0)=mi{n}_{k}w(k)$ è la minima distanza di hamming, equivale al minimo peso di hamming. Più alta è la distanza minima e meglio è il codice.

Codice a Blocco Lineare Sistematico

Una parola di codice a blocco lineare sistematico è composta da $k$ bit di informazione e $n-k$ bit di parità.

$$\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{G}}^{k\times n}=[{\mathbf{I}}_k,{\mathbf{P}}^{k\times (n-k)}]}{{\mathbf{c}}^{1\times n}=\mathbf{bG}=\mathbf{b}[{\mathbf{I}}_k,\mathbf{P}]=[\mathbf{b},\mathbf{bP}]=[{\mathbf{b}}^{1\times \mathbf{k}},{\mathbf{p}}^{1\times (\mathbf{n}-\mathbf{k})}]}$$

con $\mathbf{P}$ matrice di parità.

Matrice Controllo di Parità:

$$\mathbf{H}=[{\mathbf{P}}^T,{\mathbf{I}}_{n-k}]$$

per ciascuna parola di codice si ottiene (nota: $P+P=I$):

$${\mathbf{cH}}^T={\mathbf{bGH}}^T=0$$

Codici di Hamming

I codici di Hamming sono definiti da un parametro $m\ge 2$:

$$\begin{array}{c}n=2^m-1\\ k=2^m-m-1\end{array}$$

La matrice di parità $P$ viene costruita così che le colonne di $H=[p^T,I_{n-k}]$ siano tutte le possibili $2^m-1$ combinazioni di $m$ bit (esclusa l’n-upla di tutti 0).
La distanza minima di qualsiasi codice di Hamming è d_\min = 3.

Rivelazione degli errori

Un codice è in grado di rilevare con certezza fino a d_\min -1 errori

Correzione degli errori

Un codice lineare a blocchi è in grado di correggere fino a \frac{d_\min -1}{2} errori.

Decodifica a massima Verosimiglianza (ML)

Trovare il vettore $\hat{x}$ fra tutte le $2^k$ parole di codice che massimizza la probabilità condizionata $P(y|x)$. Si dimostra che:

$$\hat{x}=\arg \underset{x\in \mathcal{C}}{\max }P(y|x)=\arg \underset{x\in \mathcal{C}}{\min }{d}_H(y,x)$$

con $x$ parola trasmessa e $y$ parola ricevuta.

Decodifica a Sindrome

Si definisce $s$ sindrome di $y$:

$$s={\mathbf{yH}}^T=(\mathbf{x}+\mathbf{e}){\mathbf{H}}^T=\mathbf{x}{\mathbf{H}}^t+\mathbf{e}{\mathbf{H}}^T=\mathbf{e}{\mathbf{H}}^T$$

Proprietà:

1. La sindrome $s$ è composta da $n-k$ cifre binarie
2. ciascuna sindrome é associata a $2^k$ pattern di errore, ottenuti sommando al vettore $\mathbf{e}$ le $2^k$ parole di codice.
   Se $s\ne 0$ c’è un errore.

Il decodificatore compie le seguenti operazioni:

1. Calcola la sindrome $\mathbf{s}=\mathbf{y}{\mathbf{H}}^T$
2. Associa la sindrome all’errore di peso minimo a cui corrisponde la sindrome associata a $y$ (il coset leader): $s\to e_{CL}(s)$
3. Corregge l’errore sommando il coset leader alla n-upla $y$: $\hat{x}=y+e_{CL}(s)$

Nota: la decodifica a sindrome coincide per costruzione con la decodifica a massima verosimiglianza.

Sistemi di Comunicazione

Modulatore

Il modulatore associa $Q$ bit a simboli di un alfabeto di cardinalità $M$, interpolando simboli genera il segnale analogico (filtro di trasmissione) in banda base, ed infine modula il segnale alla frequenza portante $f_0$, ottenendo un segnale analogico a radio-frequenza.

$$\begin{array}{cc}Q={\log }_{2}M& \text{Numero di Bit per Simbolo}\\ M=2^Q& \text{Cardinalitaˋ dell’alfabeto dei Simboli}\\ T_d=\frac{1}{R_d}& \text{Tempo per bit}\\ T_s=T_d\cdot Q& \text{Intervallo di Segnalazione (tempo per simbolo)}\\ f_s=\frac{1}{T_s}=\frac{R_d}{Q}& \text{Frequenza di Segnalazione}\end{array}$$

La frequenza di segnalazione diminuisce all’aumentare della cardinalità dei simboli.

Il segnale analogico $s_T(t)$ è dato da:

$$s_T(t)=\sum _i{a}_i{g}_T(t-i\cdot T_s)$$

e quello a radio-frequenza (modulato) è:

$$s_T(t)=\sum _i{a}_i{g}_T(t-i\cdot T_s)\cos (2\pi f_{0}t)$$

Sistemi di Comunicazione PAM

PAM - Pulse Amplitude Modulation
Questi sistemi usano tipicamente una mappa antipodale, ovvero a valore medio nullo, con una cardinalità potenza di 2: $M=2^Q$.
Ad ognuno degli $M$ valori possibili per $Q$ bit viene assegnata una ampiezza del segnale.
Il segnale analogico è aleatorio poiché dipende da simboli aleatori.

DSP

La Densità Spettrale di Potenza del segnale trasmesso è:

$$\begin{array}{c}{S}_s(f)=\frac{1}{T_s}{S}_a(f)|G_T(f){|}^2\\ \text{con}{S}_a(f)={\sum }_m{R}_a(m)e^{-2j\pi fM{T}_s}\text{TDF della funzione di autocorrelazione dei simboli}\\ \text{se: simboli incorrelati, mappa simmetrica, simboli equiprobabili}\\ \text{allora}\to R_a(m)=\{\begin{array}{ll}E\{a_i^2\}={\sigma }_a^2& m=0\\ {\eta }_a^2=0& m\ne 0\end{array}\end{array}$$

Segnale Ricevuto-Segnale Trasmesso

$$r(t)=\sum _i{\sqrt{\beta }}_i\cdot s_T(t-{\tau }_i)+w(t)$$

Il segnale ricevuto in linea d’aria non è distorto: è attenuato e ritardato nel tempo.
Però in realtà il mezzo non è spazio libero e il segnale ha più percorsi, ognuno con una attenuazione e un ritardo diversi.

Il rumore è AWGN: additive white gaussian Noise. Un rumore è gaussiano bianco se è Gaussiano e ha DSP: $S_w(f)=\frac{N_0}{2}=\frac{K_B\cdot Tem{p}_{Antenna}}{2}$ costante. Il rumore viene poi filtrato in ricezione, ottenendo un rumore $n(t)=w(t)\otimes g_R(t)$ non più bianco: $S_n(f)=\frac{N_0}{2}|G_R(f){|}^2$, con valore medio nullo.

In definitiva il segnale che arriva in ingresso al demapper (decodificatore di canale) è:

Dimensionamento dei Filtri Trasmissione e Ricezione

Condizione di Nyquist

data la risposta impulsiva globale del sistema PAM $g(t)=g_T(t)\otimes g_R(t)$:
dobbiamo eliminare l’interferenza intersimbolica:

$$\underset{\text{Nel Tempo}}{\underbrace{\{\begin{array}{ll}g(m{T}_s)\ne 0& m=0\\ g(m{T}_s)=0& \forall m\ne 0\end{array}}}⟺\underset{\text{in Frequenza}}{\underbrace{B\ge \frac{1}{2T_s}}}$$

Massimizzazione Del SNR

$$\max \frac{g^2(0)}{E_{g_R}}$$

ovvero un filtro adattato:

$$g_R(t)=g_T(-t)⟹G_R(f)=G_T^{\ast }(f)$$

Impulsi a Coseno Rialzato (RCR)

RCR sta per Raised Cosine Roll-off.
Sono impulsi caratterizzati da un parametro $\alpha \in [0,1]$, detto fattore di roll-off.
La loro trasformata presenta una parte piatta di valore $T_s$, che si estende fino a $\frac{(1-\alpha )}{2T_s}$. A questa parte piatta fa poi seguito la zona di roll-off, che si estende fino a $\frac{(1+\alpha )}{2T_s}$, durante la quale $G_{RCR}(f)$ scende dal valore $T_s$ a $0$.
Nota: alla frequenza $f=\frac{1}{2}{T}_s$, $G_{RCR}(f)$ vale $\frac{T_s}{2}$ indipendentemento da $\alpha$.

Nel dominio del tempo l’impulso RCR ha la seguente espressione:

$$g_{RCR}(t)=\frac{\sin (\pi t/T_s)}{\pi t/T_s}\frac{\cos (\alpha \pi t/T_s)}{1-(2\alpha t/T_s{)}^2}$$

e il grafico assomiglia a una $\text{sinc}(t/T_s)$.
Al diminuire di $\alpha$ nella frequenza assomiglia sempre più a una $\text{rect}$.
a
La scelta del fattore di Roll-off è quindi un compromesso tra efficienza spettrale (che migliora al decrescere di $\alpha$) e sensibilità agli errori di sincronizzazione (che diminuisce al crescere di $\alpha$).

Combinando la condizione di Nyquist per l’annullamento dell’ISI e la massimizzazione del SNR otteniamo:

$$G_T(f)=G_R(f)=\sqrt{G_{RCR}(f)}=G_{RRCR}(f)\text{Root Raised Cosine Roll-Off}$$

essi non sono impulsi di Nyquist, ma lo è la loro convoluzione.

Filtro adattato

$$g(t)=p(-t+t_0)$$

Il filtro si dice adattato all’impulso $p(t)$ e massimizza il rapporto segnale rumore del segnale nell’istante $t_0$ quando il rumore in ingresso è bianco.
La risposta in frequenza del filtro è:

$$H(f)=\text{TCF}\{p(t-t_0)\}=P^{\ast }(f)e^{-2j\pi f{t}_0}$$

e ha quindi modulo $|H(f)|=|P(f)|$. Per cui nel dominio della frequenza il filtro adattato amplifica le zone frequenziali dove $|P(f)|$ è maggiore (quindi elevato SNR) e attenua dove $|P(f)|$ è minore (basso SNR).

Probabilità di Errore nei sistemi di comunicazione

Al demapper arriva in ingresso (se i simboli sono equiprobabili):

$$z(k)=\text{Simbolo Trasmesso}+n^{\prime }(k)⟹z(k)\sim \mathcal{N}(\text{Simbolo Trasmesso},{\sigma }_{n^{\prime }}^2)$$

con ${\sigma }_{n^{\prime }}^2=\frac{{\sigma }_n^2}{\beta g^2(0)}$ ovvero il rumore in ingresso amplificato e normalizzato, e con ${\sigma }_n^2=\frac{N_0}{2}{E}_{g_R}$.
Di solito con filtri RRCR: $P(e)\approx Q(\frac{1}{{\sigma }_{n^{\prime }}})=Q\left(\sqrt{\frac{6}{M^2-1}\frac{E_r}{N_0}}\right)$

Energia media ricevute per Simbolo (con $G_T(f)=G_{RRCR}(f)$):

$$E_S=\frac{A^2}{3}(M^2-1)$$

SER:

$$SER=\frac{2(M-1)}{M}Q(\frac{1}{{\sigma }_{\eta }})$$

con $\frac{1}{{\sigma }_{\eta }}=\sqrt{\frac{6(E_S/N_0)}{M^2-1}}$

Mappatura di Gray

Una mappatura di Gray è costruita in modo che simboli adiacenti differiscano di 1 solo bit.
Sistemi di comunicazione con mappatura di Gray hanno probabilità di errore su un bit:

$$P(e)=P(e)\cdot \frac{1}{{\log }_{2}M}$$

Sistemi PAM con filtri RRCR

Banda Impiegata da un sistema PAM con filtro RCR:

$$B_T=\frac{1+\alpha }{2T_s}$$

Efficienza spettrale:

$${\eta }_{sp}=\frac{R_d}{B_T}=[bit/s/Hz]$$

con $R_d=\frac{{\log }_{2}M}{T_s}$.
Quindi l’efficienza spettrale del sistema aumenta al crescere della cardinalità $M$ dell’alfabeto impiegato.
L’efficienza energetica decresce al crescere di $M$.
Si definisce perdita energetica di un sistema rispetto ad un altro l’aumento in dB del rapporto $E_d/N_0$ necessario per raggiungere la stessa SER.

Trasformate Notevoli

Nome	tempo	frequenza
f. esponenziale monolatera	$x(t)=e^{-t/T}u(t)$	$X(t)=\frac{T}{1+2j\pi fT}$
funzione rettangolare	$x(t)=\text{rect}\left(\frac{1}{T}\right)$	$X(t)=T\text{sinc}(fT)$
f. Seno Cardinale	$x(t)=\text{sinc}(2Bt)$	$\frac{1}{2B}\text{rect}(\frac{f}{2B})$
	$x(t)={\text{sinc}}^2(2Bt)$	$\frac{1}{2B}\text{tri}(\frac{f}{4B})$
Delta di Dirac	$\delta (t)$	$\Delta (f)=1$
Funzione Costante	$1(t)=1$	$\delta (-f)=\delta (f)$
Coseno	$x(t)=\cos t(2\pi f_{0}t)$	$\frac{\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)}{2}$
note:

• seno cardinale: $\text{sinc}(\alpha )=\frac{\sin (\pi \alpha )}{\pi \alpha }\forall \alpha \ne 0,\text{sinc}(0)=1$

Domande

1