Fattorizzazione QR

uni
Voglio trovare una fattorizzazione tale che $A=QR$, con $Q$ unitaria e $R$ triangolare superiore rettangolare, con $m-n$ righe di zeri in fondo.

Matrice di Householder associata al vettore $v$:

$$\tilde{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\pm ||v|{|}_2\\ v_2\\ ⋮\\ v_m\end{array}\right)$$

quindi

$$H_v=I-2\frac{\tilde{v}{\tilde{v}}^H}{||\tilde{v}|{|}_2^2}$$

Fattorizzazione

$H_1=H_{a_1}$ matrice di Householder associata ad $a_1$ prima colonna di $A$.

$$H_1\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}?& \dots \\ 0& \dots \\ ⋮& \\ 0& \dots \end{array}\right)$$

poi prendiamo $H_2$ per sistemare gli elementi della sottomatrice di coda successiva:

$$H_2=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& & & \\ ⋮& & {\tilde{H}}_2& \\ 0& & & \end{array}\right)$$

e così via. Otterremo poi $R$ come:

$$R=H_n\dots H_2{H}_{1}A$$

e otterremo $Q$ come:

$$Q=H_1^H{H}_2^H\dots H_n^H=H_1{H}_2\dots H_n$$

poiché le matrici di householder sono hermitiane.

Costo $O(m{n}^2)$.