Probabilità Condizionata

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Supponiamo di eseguire un esperimento che coinvolta una coppia di eventi A e B:

• sia $P[A|B]$ La probabilità dell’evento A dato che l’evento B si è verificato
• la probabilità $P[A|B]$ è detta prbabilità condizionata di A dato B.

Assumendo che B abbia una probabilità non nulla:

$$P[A|B]=\frac{P[A\cap B]}{P[B]}$$

Questa probabilità condizionata cattura l’informazione parziale che il verificarsi dell’evento B fornisce sull’evento A.

La probabilità condizionata definisce un nuovo sistema di probabilità caratterizzato da:

• stesso spazio campione
• stessa classe di eventi
• diversa legge di probabilità

Fissato un evento B, $P[A|B]$ è una legge di probabilità in quanto soddisfa gli assiomi:

• normalizzazione: $\Omega =A:P[\Omega |B]=\frac{P(\Omega \cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1$
• non negatività: soddisfatto per definizione
• additività: dati A1 e A2 disgiunti: $P[A1\cup A2|B]=\frac{P[A1\cup B]}{P[B]}+\frac{P[A2\cup B]}{P[B]}$

Facciamo una interpretazione in termini di frequenza relativa (supponendo di ripetere l’esperimento $N$ volte):

$$P[A|B]=\frac{P[A\cap B]}{P[B]}\approx \frac{\frac{n_{A\cap B}}{N}}{\frac{n_B}{N}}=\frac{n_{A\cap B}}{n_B}$$

Se consideriamo solo la sequenza degli $n_B$ risultati in cui si è verificato l’evento $B$, $P[A|B]$ approssima la frequenza di presentazione dell’evento $A$ in tale sequenza.

Proprietà della probabilità condizionata

$$\begin{array}{cc}\text{I.}& \text{Se }A\cap B=\varnothing ⟹P[A|B]=0\\ \text{II.}& \text{Se }A\subset B=A⟹P[A|B]=\frac{P[A]}{P[B]}\ge P[A]\\ \text{III.}& \text{Se }B\subset A=B⟹P[A|B]=\frac{P[B]}{P[B]}=1\end{array}$$